《显微图谱》出版五年之后，即1671年12月21日，罗伯特·胡克（那时仍是实验负责人）在皇家学会集会上，介绍了一种新的音乐记谱法，并且设计实验来测量水银穿透木头需要的力的大小。罗伯特·波义耳也在场，他介绍了一个实验，实验表明“水不能到的地方空气却可以到达”。此外，他还提议纳入一个新的成员：“艾萨克·牛顿，剑桥大学的数学教授。”
当时29岁的艾萨克·牛顿毕业于剑桥大学，此前四年，他一直在母校三一学院任教。他在1672年1月的会议上被适时推举，那次会议中“特别提到了牛顿先生对望远镜的改进”；牛顿此前将他改进后的一台仪器满怀敬意地送给了皇家学会。
与波义耳和胡克一样，牛顿是人造仪器的使用者，是一位为了寻求真理急切地希望能延展自己感官的数学家。在2月的会议上，他的入会证书墨迹未干之时，他便向学会递交了一封信，信中他介绍了自己最新的“哲学发现”：
光并非彼此类似，光的种类繁多，包含了不同的光线。这些光线在穿透其他物质时，本质上会产生不同的折射；颜色就是从各种各样的光线中产生的，它们的性质决定了，其中一些倾向于产生红色，一些产生绿色，一些产生蓝色，一些产生紫色……而白色则是各种颜色的混合体，或者说白色是由各种颜色混合在一起而产生的。
一直以来，牛顿的实验借助的并非显微镜或望远镜，而是棱镜：这种仪器通过扭曲（“折磨”）自然光来揭示光的组成。
信中，牛顿描述他在光方面的发现是“在迄今为止的关于自然的实验中，如果不是最重要的研究也是最与众不同的”。他这一番傲慢的宣告立即激起了一番同样激烈的反对之声。皇家学会对牛顿先生做出这一发现表达了“郑重的感谢”，并且委托胡克予以回应；胡克针锋相对地反驳说他认为牛顿的提议是“毫无必要”的。人们通常认为，光是白色的、单一的，而牛顿的发现与这背道而驰。让光穿过不同的物质（比如说透明的石层，在《显微图谱》中，胡克记录了一个此类实验），光只不过是被透明物质改变，因而变成不同的颜色。胡克勉强承认牛顿的新解释也许是真的，但他坚称，这一解释并不比已有的理论更有可能成为真理；他反驳道，牛顿并没有提供“理论的绝对证明”，因此他本人觉得无法信服。同年后期，胡克为皇家学会重新做了牛顿的实验，“证明了牛顿的判断”。但他仍继续辩驳道：“这些实验无法令人信服，无法证明光是由不同的物质组成的。”他可以想到至少两个“不同的假设”，同样可以很好地解释牛顿的结果。
这是两人充满争论的关系的开始。这种敌对情绪之所以出现，一方面是因为，两个非常有能力且自负的人之间自然会产生摩擦，另一方面，缘于二人持有不同的哲学观。胡克以及皇家学会的大多数重要成员都极其推崇实验的方法，但对于从中总结普适的结论时都非常谨慎。学会尽管对牛顿的“光的理论”很感兴趣，但还是提议，要想得出结论，需要做更多的实验才行。而这些实验足足做了三年，其间，牛顿在剑桥的实验室与位于伦敦的皇家学会总部之间书信往来频仍。
1675年，牛顿开始感到恼火。他将一份更缜密的手稿送到学会，稿件中对他的实验及实验揭示出来的光穿过“以太”的运动进行了更为详细的阐释。12月16日，胡克将此手稿呈现给皇家学会。“读了这篇论文后，”会议记录写道，“胡克先生说其主要内容在他的《显微图谱》中都涵盖了，牛顿先生不过是在个别细节上加以延伸罢了。”
牛顿当然要针锋相对，他反过来指责胡克有些过于随意地“借用”其他思想家的成果，比如勒内·笛卡儿［ René Descartes，他早在40年前就出版了《方法论》（Discourse on Method） ］和牛顿本人。两人的争论愈发激烈，而且弄得尽人皆知。信件来往越来越多，实验也越来越多。牛顿愈发沮丧——一部分是胡克造成的，但更多的是因为皇家学会不停地要他提供更多的证明。1676年，他尖刻地回复学会：“重要的并不是实验的数量，而是质量；如果一个实验就足以说明问题，为何还需要多次实验呢？”在他写给一位同僚的信中，他悲愤地写道：“我认为，一个人要么决心不研究新东西，要么就得成为捍卫新东西的奴隶。”
牛顿逐渐不再参与皇家学会的例行活动。会议记录中越来越少见到他的名字。他没有去参与胡克负责的、学会成员要求的永无尽头的实验，而是投身于自己的研究：不仅仅研究光和光学，也研究行星的轨道以及可以对其做出解释的天体运行机制。与胡克争论了12年之后，他出版了第一部重要文献：Philosophiae naturalis principia mathematica，即《自然哲学的数学原理》。
《数学原理》一书从伽利略的日心说模型出发，主要关注的是行星环绕太阳运行的轨道。尽管伽利略的日心说体系因与事实相符而日益被人接受，但仍旧面临许多质疑。伽利略本人已经回答了一些主要的问题，但绝不可能解决得了所有问题。他认为，日心说理论是对潮汐运动的最好解释，并且，通过望远镜观测，他认为行星是有可能环绕着除地球外的其他天体运转的。他的重物实验，不论重物是否是从比萨斜塔落下的，都证明了地球能够在运转的同时保证地表物体不会到处乱飞。
但他并没有试着去解释使得重物下落的那股力［引力（gravitas），或“重力”］是如何作用的。实际上，尽管他推翻了亚里士多德学派物理学的一些核心观点，但他坚持一个与亚里士多德学派类似的观点，即引力是客观物体固有的属性，而不是外界施加在物体上的力。
此外，伽利略也无法解释，如果行星是围绕太阳运转，那么为何对它们的圆形轨道的运算无法解释它们的实际运动。与他同时代的约翰尼斯·开普勒曾提出了椭圆轨道的定律，并据此得出更合理的结果——但二人都没能解释轨道为何是椭圆，而非正圆。伽利略构想的宇宙中，没有外力，而且这些物体本身的属性，都无法迫使行星的轨道由正圆变成椭圆。
这就是牛顿要解决的问题。
他将伽利略在地球上做的自由落体实验延伸到天体中，解决了这个问题。伽利略曾做出理论推定，认为物体的引力意味着它们可以持续做匀速运动，不论下落了多久；牛顿提出，引力不是物体的固有属性，而是一种力，太阳给行星施加引力，行星给环绕它们的卫星施加引力。将物体吸引到地球的引力同样也将月球引向地球——但是这股力的大小会随着距离的改变而改变。它是会变的。随着行星离太阳越来越远，太阳施加给它们的力也越来越弱——因此，就有了椭圆轨道。
要对这种新发现的力的原理进行全面解释——最重要的是解释两物体之间的距离与它们之间引力的关系——牛顿必须要改进自己的数学运算，使其可以计算出持续的细微变化。这一新数学方法就是“关于变化的数学法则”，在条件不断变化、力量不断改变且各种因素时隐时现的情况下，据此方法仍可以预测出结果。
因此，《数学原理》一书同时展开了两项富有开拓性的工作：它解释了行星运行轨道为何是椭圆形的——并且，在这个过程中，首次揭示了宇宙中存在的另一种力：引力。此外，它还为数学引进了一个崭新的分支；这一充满活力的数学分支在17世纪时被称为“calculus”（微积分）：这一名称源于拉丁文“鹅卵石”，这是一种被用作算术计数器的小石头。
《数学原理》第四卷阐述了引力作用的四条定律。书中牛顿建立并利用了三原则（牛顿运动定律）：

资料来源：非数学的陈述均选自拉里·柯克帕特里克和格雷哥里·弗朗西斯所著的《物理学——一种世界观》(Physics: A World View，Thomson，2007)，37，41。
《数学原理》第一、第二卷建立了运动定律，既从理论上（不存在任何阻力的理想情况）又从存在阻力两种情况下进行探讨；第三卷则将引力视为宇宙中普遍存在的力进行探讨。
这三卷书的内容都非常艰深。单是“数学原理”这一书名就指出了最大难题：书中很大一部分是高深难懂的数学解释，是使用牛顿的微积分数学进行计算的。威廉·德汉（William Derham）是牛顿的老朋友、老同事，他后来写道，该书之所以晦涩艰深，是牛顿有意为之。牛顿曾向他透露，自他“讨厌争辩”开始，他“有意使得《数学原理》一书艰涩难懂”，为“避免被数学方面的浅薄小人所攻击”。也许因为“浅薄小人”这个词准确描述了当代绝大多数对此书有兴趣的读者，包括我自己，此书的绝大部分都在我们的《数学原理》理解范围之外。［这绝不是现代教育的失败。詹姆斯·阿克斯特尔（James Axtell）曾指出，牛顿的策略“行之有效，使得《数学原理》一书艰涩难懂……甚至对他那个时代的专家和聪明的外行人也是如此”；一个为此感到沮丧的剑桥大学学生在街上和牛顿相遇时，曾说过一句金言：“前面走来的那个人，就是那个写的书不管是自己还是别人，谁都看不懂的那个人。”］
但是，牛顿在《数学原理》一书的两章中舍弃了密集冗长的公式，采用了清楚的表述，即在《数学原理》一书最后的“总批注”（就是“总体的解释性注释”），以及第三卷开头的“自然哲学研究的守则”。
“守则”在某种程度上，是牛顿对皇家学会的最后回击。他意识到，《数学原理》的结论很可能被缺乏想象力的那群人否定，被视为“巧妙的罗曼史”——仅仅是猜测，是虚幻的猜想。毕竟，他所进行的轨道观察，既没有在月球上进行，也没有在与太阳距离不等的其他行星上进行。相反，他采纳了在地球上获得的实验结果，并据此推知天体——这一方法是迂腐的皇家学会不赞成的。
“守则”解释了为什么牛顿关于月球和行星运动的结论是可靠的，即使胡克并不赞同牛顿的实验证明方法。前三个原则是：
1.比起复杂的原因，简单的原因更可能是正确的。
2.同类现象（比如说，欧洲的石头从高处落下，与美国的石头也从高处落下）极有可能拥有同样的原因。
3.在我们可实验的范围之内，若某个特性存在于我们所有的实验客体中，那么我们就可以推定，这一特性存在于宇宙万物之中。
在《数学原理》第一版中，“守则”并非以这种形式展现出来，尽管牛顿的结论清楚表明了他是在这些守则指导下进行实验的。第二版出版于1713年，此时，他才将自己的假设写进书中。但直到1726年，《数学原理》第三版中，他才加入了第四条，也就是最后一条原则：
4.基于具体现象或实验结论的一般性理论应被认为是正确的，除非有新的现象或其他实验结果出现，使得另一条理论更像是真理。
这就是培根的归纳推理法——从具体结果推知普遍结论，但牛顿将其进行了惊人的延伸：延伸到适用于整个宇宙。
但“总批注”（其中也包含了关于上帝在自然哲学中位置的著名探讨）对这一方法进行了限制。牛顿解释说：
引力可以穿透太阳和行星，深达它们的核心，而自身的作用力却丝毫没有被削弱，这一作用并不与其作用的粒子表面数量成比例……而是与固体物质的量成比例，并且，这一作用还可延伸至周边极远的距离，总是与距离的平方成反比。
但是，他提醒人们：“我至今尚未找到引力产生的原因。”他可以根据自己在地球上所做的实验，推导出引力法则，但是无从知晓引力产生的原因。
在牛顿看来，根据法则推断出起源，就是在没有证据的情况下总结出理论——这就是古代哲学家所推行的那种宏伟的范式虚构。他轻蔑地称其为“杜撰假设”。“我至今仍不能从现象中推断出这些引力属性产生的原因，”他断言，“我也不会去‘杜撰’假设。”他认为自己没有必要提供一种可以解释为何宇宙以它现存的方式运行的普适性理论，即所谓“万物至理”。根据他的“实验哲学”，
从现象中推论出猜想，然后通过归纳，使猜想成为普遍的理论。物体的不可入性、运动以及惯性，运动定律和万有引力定律都是通过这种方法被发现的。只要引力存在和作用的方式与我们提出的定律相符，并且能够解释天体和海洋的一切运动就足够了。
就足够了：对此，牛顿会感到心满意足。他把实验方法延展至整个宇宙，但也为其无限延展设定了一个边界。