请见下面图1a，即白晋随信（第9封，1701年11月4日从北京发出）寄送给莱布尼茨的附图，世称“伏羲先天六十四卦圆方图”。我所看到的这幅弥足珍贵的存档原图真迹，已被装裱成图1a 的格式。在通信文集里该信列为第44封（页330-375），附图则复印成的图2a和2b（附件第45，页376-377），是目前能够找到的最清晰的原图版本。

（图1a）（图2a）（图2b）
比较通行的同类图（坊间流行的，诸如《周易本义》里的伏羲六十四卦方位图 ），不难发觉图2a和图2b里多了一些阿拉伯数目字，是莱氏用墨水笔手写添加上去的，表明他在白晋的解释帮助下理解了易卦排序的规律，从而得出的各卦的二进制编号。从字体可以看出，莱布尼茨在添加这些数字时写得非常迅捷，可以说是不假思索一挥而就。也表明了白晋的信和附图导致了莱氏的“顿悟”，令他顿时就明白了，伏羲氏的易经智慧和他正在开创的二进制算法有异曲同工之妙，是二进制算法早了四千年的一个历史实证应用。事实上，莱布尼茨据以修订论文的工作在数日之内就告完工，随即提交法兰西皇家学院，激活了他被搁置了两年之久的二进制算法论文，同年八月得以顺利发表。从而开启了我们现今所处的伟大信息时代。

在方图部分，由二进制算法得到卦序阿拉伯数字写在了卦象的上方；而在圆图里，这些数字则是写在圆环的外周，并且是向着圆心来写的。两者之间有一个显著的区别：若是按方图的卦序写法，圆图的卦序应该背离圆心向外来写；若是按照圆图的卦序写法，则方图的卦序应当是颠倒过来写。这个区别在莱氏来说很容易被忽略，因为他不谙汉文。但是，这涉及到了如何读懂卦象的大问题：卦象该自下而上来看，即以下爻为初爻呢，还是自上而下来看，即以上爻为初爻呢？莱氏以二进制计算出的卦序编号显然是以上爻为初爻，自上而下地来加倍进位的。在回复白晋的信里（第11封信，通信文集里编为第49封，1703年5月18日从汉诺威发出）他的解读十分清楚（图3 ）。

（图3）
按二进制算法的规范，计算是从右到左进行二进位的。如此，图3 里的000001，卦序排为1 的卦，应当是复卦，唯一的阳爻在初爻位，因为莱氏是自上而下来看待卦象的；而按规范的视角，我们是自下而上来看这个卦象的话，却是剥卦——唯一的阳爻是在上爻位，二进制编码当为100000，卦序则应该是32！同理，排序为3 的000011，应当是临卦，而非观卦的110000。显然，莱布尼茨在协调卦象和二进制编码的时候，把卦象统统顺时针转了个90度。而依据易经的卦象视角和按照规范的二进制算法，卦象理当是逆时针地转90度，来看待并计算出正确的卦序编号 。

这个区别的妥协结果，造成了相综的两个卦。在周易里这样的综卦有24对。从圆图可以看得很清楚，从圆心往圆周来审视卦象还是从圆周向内看圆心的两个卦象，就构成了一对周易综卦。然而有4对卦，乾-坤、坎-离、颐-大过、中孚-小过，是无从相综构成对卦的，它们是阴阳爻彼此否定的错卦。另有4对，泰-否、随-蛊、渐-归妹、既济-未济，既是综卦同时又是错卦。

从圆图看，每一条经过圆心的直径所联接的两个卦是一对错卦，除了上述的8对卦在周易原来就成对卦的（占四分之一），其他24对都不是。每对错卦的二进制编号卦序相加均为63。在方图部分，这个关系也非常清晰，每对错卦悉以方图的中心（两条对角线的交点）成中心对称，卦序之和也必为63。这种漂亮的工整对称性揭示出了易学的深邃智慧（千年之前北宋的邵雍就已洞悉，并谨慎披露了出来）。

那么，我们是不是可以说，莱氏和白晋对其所做的这个妥协，以及对后人可能产生的误导，是一无所知的呢？不然。细读白晋和莱氏的那几封通信，可以看到两人对此问题是了解，并且深入讨论过的。不过当时他们的目的，不在于对易经的透彻理解和诠释，而是旨在推进二进制算法的完备和发表，因而没有展开进一步的辨析。 

但谁又能想到，这个问题竟会等待三百多年，留待我们这一代人来解决呢？下面是我们的第二个例证。

图2a和图2b里有用铅笔写的页码27和28两个数字。经莱氏档案馆的专家告知，这两个阿拉伯数字是唯一非莱布尼茨写下，而是档案管理人员写就的原档的页码编号。很值得我们注意的，27 和28是彼此颠倒着写的。经专家告知，约在十八世纪中叶档案馆对原档的编号，就这样写的。他们显然是在理解了白晋和莱布尼茨在信中关于 “两仪相逆” 讨论的基础上，才有能力写成这样的。这是一条很有价值的线索，的确意味深长。

我在所看到的原档文献里找到了一页莱氏的手稿（图4 ），上面不但有对二进制的详细描述，有易经卦象的排序算法，还有一个小圆图，表明了两仪相逆后的全部易卦应当怎样进行排序。我仔细请教了档案馆的专家们这页手稿的来源，他们表示不能确定，据推测是莱氏致白晋的信 （第12封）的草稿。莱氏的解析在图2a和2b里可以看得更清楚，由二进制算法得到的64卦，排列不是连续展开的：在圆图里0-31卦按逆时针排开，自下而上形成了圆图的右半圈；而下一半32-63卦则是按顺时针展开，自下而上构成了圆图的左半圈。结果之一，是构成了上文所说的32对错卦，是由穿过圆心的直线联接起来的两个卦。

这个对称关系在方图部分里显示的不是很直观，因为白晋寄送的图是印在两页纸上的，每页里圆图半圈的32个卦和方图的四列32卦并不对应。把两页拼接成一图（图1a）就看得比较完整了。对应半圈圆图的各有四行卦象，对应右半圈的0-31卦是1至4行，从左至右展开的；对应左半圈的是63-32卦，则是8至5行，从右至左来展开的。两仪相逆的关系与焉昭然若揭，白晋和莱氏当然不会不注意到这层关系。

（图4）
让我们来设想一下，要是莱氏不受汉字卦名的羁绊，以逆向来检视方图部分的话，即把图倒转180度颠倒过来，那么他所看到就成了图1b。更进一步，如果莱布尼茨看到的是简化的图1的方图部分，那么图1a和1b 就分别成了图1c和1d。如果用规范的二进制来计算64卦排序的话，这时在图1d里，从右下角的坤卦开始，8至5行逐行自下而上，每行从右到左的卦象，其实是坤0、复1、师2、临3、谦4、……夬31，逆时针展开的，成了圆图的左半圈；然后经过两仪相逆，按顺时针排列，从剥32、颐33、蒙34、……遁60、同人61、姤62，排到乾63，完成了圆图的右半圈。这时在圆图，卦象是从圆周向圆心，即以下爻为初爻来看待的。 如此排成的卦序和规范的二进制计算得到的结果就一致起来，于是就可以很好地解决莱布尼茨为排序做妥协所带来的困扰。

（图1b）（图1c）（图1d）
这里不妨提醒一下，颐卦无论是从下至上看还是自上而下来看，在圆图里它的卦象无论从圆心向外看还是从圆周向内看，排序均为33。这样卦象结构对称的还有7个卦，卦序也始终如一：大过30；坤卦0、乾卦63；坎卦18、离卦45；中孚51、小过12。

将这些认知引申，能为我们解答易卦排序的各种问题带来许多有益的思路。譬如，我一直在琢磨的，是莱布尼茨专注于二进制算法的开创二十余年，为什么他在读到白晋的信和附图后顿时领悟，并在几天内就完成了“临门一脚”，然而却未能注意到四十年前另一位耶稣会士卫匡国就已在欧陆出版的易卦图？否则他完成二进制算法的创建会提早若干年。因为只要做几个简单的对称置换，那幅“卫匡国图” 其实和白晋寄送的“伏羲先天六十四卦圆方图”是如出一辙。

又譬如，易卦排序的根基在于八卦序。邵雍所揭示出的先天序，地1、山2、水3、风4、雷5、火6、泽7、天8，是严格依据他的“加一倍法”得到，和莱布尼茨二进制算法是完全一致的。不过，若是按照阴阳周流不息彼消此长的认知，这也符合通行的八卦序诠释，却应该为地1、山2、水3、雷4、风5、火6、泽7、天8。这又是一个大问题，在易卦整体排序上我们必须直面，是绕不过去的。

对于这些问题的辨析和解答，势必无法在本文展开，我将不断将它们纳入到正在撰写的书及论文中去。

最后，也点一下我对易学和二进制算法的关系的初步结论。易经的智慧对于莱氏开创的二进制算法的确有过强有力的推动，这是华夏古文明对人类文明的一个贡献，我们足堪引以为傲的。其中的一个证据，是白晋在华深入专研易经多年，从中得到不少领悟，他的易经诠释对莱氏的二进制探索有重大的帮助。反过来，运用二进制的数理观念和先进的计算和表达方法，显示出卓越的解析能力，为我们的易学现代化工作提供了强有力的思维和工具。

这次去莱布尼茨档案馆学习和发掘，予我不少思考，也加强了我多年来的感悟。易学的阴阳二元对待，永恒互抱同在，周流不息彼此转化，相反相成的核心理念，（在白晋和莱氏看来这种深邃的洞察力早在先周就已被湮灭）是华夏先祖对人类文明的伟大贡献，值得我们为之效命，尽其所能来探索、发掘、诠释，并发扬光大。

附录
图A 图B图C图D1图D2图E2图E1

图E3

图F15封信件附表 图G图H图I图J2图J1

图J3

注释
①见附录的图 A 的莱氏档案馆。

②例如，大文豪歌德在该城读了三年书，音乐巨擘巴赫更在莱比锡居住和创作达二十八年，直至辞世。见附录的图 B 里歌德纪念铜像和巴赫任音乐总监的圣托马斯教堂里的墓穴。

③莱布尼茨在汉诺威生活和工作了四十年，直到 1716 年逝世。见附录的图 C 是那里的莱氏故居， 可惜原建筑毁于二次大战，重新修复的仅及门面而已。

④莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646－1716），德意志的著名学者、大哲学家、大数学家， 历史上少见的通才，曾被誉为十七世纪的亚里士多德。他和牛顿各自独立地创建了微积分学。其著作多以拉丁文和法文写成。莱布尼茨通过和欧洲许多学者，特别通过在中国传教的耶稣会士通讯切磋，对中国事物和观念产生了浓厚兴趣和深刻理解。他撰写的《中国近事》（Novissima Sinica， 1697）在欧洲被广泛阅读，颇具影响。

⑤Widmaier, Rita & Babin,Malte-Ludolf GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ, Der Briefwechsel mit den Jesuiten in China (1689 – 1714), FELIX MEINER VERLAG，HAMBURG 2006。该书九百余页，译文六百页之外还有两百页的注释。

⑥白晋（Joachim Bouvet，1656—1730），生于法国勒芒市。1678 入耶稣会学校就读，接受了神学、语言学、哲学、自然科学等的全面教育，对天文、数学和物理学尤其兴趣浓厚。1686 年被法皇路易十四选派第一批六名来华耶稣会士之一，于1688年抵达北京。他们向清廷进献了许多科学仪器和图籍。其中白晋和张诚长期有系统地向康熙皇帝讲授天文学、几何学和算术。其满文讲稿整理成册 并译成汉文，由康熙亲自审定作序（其中如满文本《几何原本》，为故宫博物院所藏，汉文本则收 入了《数理精蕴》）。作为亲善大使，白晋直接沟通路易十四和康熙两位君主，并深受器重。白晋曾把他的切近观察写成《康熙大帝传》，对欧洲人了解中华产生了影响（以至于近百年后的伏尔泰还盛赞康熙为开明君主的楷模）。他在易经探究同康熙的切磋尤其频繁。白晋曾在返回巴黎其间以《易经》为题目作了学术报告（1697），在演讲中他把《易经》看做可以同柏拉图、亚里士多德齐驾并驱的合理、完美的哲学体系。

白晋和莱布尼茨的通信始于莱氏要求白晋允许在《中国近事》转载《康熙大帝传》里的康熙画像。两人往返切磋长达十年左右，现今保存的信件计 15 封，以对易经和二进制算法的探讨著称于世， 记述了白晋对二进制的开创有着（间接的）历史性贡献。雍正八年白晋卒于北京（1730，享年 74 岁），遗体安葬在正福寺墓地。

在华的耶稣会士南怀仁（P. Ferdinand Verbiest, 1623-1688）和柏应理（P. Philippe Couplet, 1623-1693） 的引荐下，受法皇路易十四的派遣，与白晋同时抵达中国的这批耶稣会士共五人，均为饱学之士， 拥有“国王的数学家”和法国皇家科学院“联系会员”的头衔，皆因对中西文化交流建设性贡献而留名史册。

洪若翰（Jean de Fontaney, 1643-1710） 刘应（Claude de Visdelou, 1656-1737）张诚（Jean-Francois Gerbillon, 1654—1707） 李明（Louis le Comte, 1655-1728）

⑦见附录里的信件附表。

⑧白晋和莱氏通信的存档原件，其样板页见附录的图 D 和图 E，分别是白晋致莱氏的第 9 封信和莱氏致白晋的第 10 封信的一页。这两封信是研究辨析问题的重心，内容翔实分量很重。第 9 封信编印出来有 48 页之长，还加上 12 页附注；第 10 封信编印出来则长达 40 页，外带 10 页的附注。

⑨Leibniz-Bouvet Correspondence, translation and Annotations by Alan Berkowitz and Daniel J. Cook https://leibniz-bouvet.swarthmore.edu/letters/

⑩石勇教授，中国科学院大数据挖掘与知识管理重点实验室；Christian Haas, University of Nebraska- Omana。

⑪罗马的耶稣会教堂美轮美奂的天顶，见附录的图 F。耶稣会重视教育不余其力，各处的耶稣会教堂（譬如海德堡、巴黎、苏黎世、纽伦堡等）均极精美华丽。

⑫我所列出的信件要点和问题表，见附录的图表G。其上的铅笔标记是档案馆的专家准备的存档原件编号。

⑬主要有三位，Babin,Malte-Ludolf 博士、档案馆的主任 Matthias Wehry 博士、Anja Fleck 女士。

⑭请参阅即将出版的《易卦正解——重释易经的新视角》（孙涤，上海人民出版社，2020）。此前在《易卦解构》（孙涤，上海人民出版社，2016）中已提出若干问题并尝试做了解答。

主要参考文选书目
柯兰霓（德）耶稣会士白晋的生平与著作. 李岩译 大象出版社，2009来知德 (明)周易集注(上、下)(易经来注图解). 九州出版社, 2004李申 郭彧周易图说总汇. 华东师范大学出版社，2004邵雍（宋）皇极经世书. 中州古籍出版社, 2007孙涤易卦解构——易卦结构解析24讲 上海人民出版社 2016孙涤解析大衍筮法及易卦的蓍占概率，《文史哲》2018年第一期，第47-59页孙涤论易经和二进制算法的关系 工作论文 2016孙涤易卦的错综复杂， 上海人民出版社 2020张行成（宋）皇极经世索隐. 台湾商务印书馆, 1969张政烺张政烺论易丛稿. 中华书局, 2010朱熹（宋）周易本义. 北京大学出版社, 1992

Bouvet, P. JoachimPortrait historique de l'empereur de la Chine (Paris, 1697)Dehaene, StanislasThe Number Sense: How the mind creates mathematics, OUP USA, 2011.Leibniz G. W.Explanation of the Binary Arithmetic, which uses>Fu Xi（伏羲）(1703) published in the Memoires de l'Academie Royale des Sciences. Die mathematische schriften von Gottfried Wilheim Leibniz, vol. VII , C. I. Gerhardt (ed.), p 223, Translated from the French.Leibniz-Bouvet Correspondence, translation and Annotations by Alan Berkowitz and DanielJ. Cook https://leibniz-bouvet.swarthmore.edu/letters/Mungello, D.E.The Great Encounter of China and the West, 1500–1800, 4th Edition, Rowman & Littlefield Publishers, 2012Perkins, FranklinLeibniz and China—— A Commerce of Light, Cambridge University Press, 2004.Widmaier, Rita & Malte-Ludolf Babin GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ， Der Briefwechsel mit den Jesuiten in China (1689 – 1714) FELIX MEINER VERLAG，HAMBURG 2006Wilhelm, RichardThe I Ching, Baynes C F. trans. Princeton University Press, 1967.