第四节 为反驳给出的答复
空间和时间的体系是由紧密相连的两个部分组成的。依赖于下面进行的这个推理连锁的是第一个部分。心灵的能力是有限的；因此，广袤或持续的观念都不是用较小观念或若干部分组合而成的，而是由数目一定、简单、不可分的观念组合而成的。因此，空间与时间有可能是符合于这个观念才得以存在的。如果有可能，我们就能说，其实它们的存在是符合这个观念，因为其自身含有的无限可分性是绝对不可能相互矛盾的。
体系的另一部分是前面部分的结果。由空间与时间观念分解成的那些部分，直至不可分的程度；因为这些不可分的部分本身是非实在物，所以如果没有真实存在的某种东西来加以填充的话，后果是无法想象的。因此，空间与时间观念并非个别的、独立的观念，它只是对象的存在方式或是一种秩序的观念；换言之，我们想象不出一个没有物质存在的真空与广袤，也无法想象一段不存在任何真实的存在物的接续以及不断变化着的时间。由于我们体系两部分的紧密相连，所以我们也会同时研究对这两个部分所提出的那些反驳；首先我们要研究的是那些有关广袤的有限可分说的反驳。
（1）我要研究的第一个反驳，实际上它更适合于用来证明此体系两部分之间的密切关系和依赖。经院中有人主张说，广袤一定无限可分，因为数学点的理论是何其的荒谬。之所以说这个理论是荒谬的，那是由于数学点实际上是一个非实在物，它跟其他任何数学点结合的结果绝无可能是一个真实的存在。要是数学点的非实在物与物质的无限可分性之间没有任何中介的话，那么这绝对应该是一种具有决定性的反驳。但显然这里有一个中介，这就意味着我们能够给这些点一种颜色和坚固性。两个观点的荒谬之处在于这个中介的真实性和正确性。物理点—另一种中介—的理论真是荒谬至极，不屑反驳。正如物理点如此的被假设，一个实在的广袤不能脱离了彼此差异的部分而独立存在；而所有差异的对象都能通过想象对其进行区别和分离。
（2）假如广袤是用一些数学点组合而成的，那么它们之间一定会相互渗透。第二个反驳便由此得来。简单而不可分的一个原子在与接触另一个原子时，必然渗透其间；由于它无法借助它的表面部分与另一个原子接触，因为假设它原来是极其简单的，这就把一切的部分排斥在外了。所以，第一个原子必然和第二个原子产生密切接触，以致用它的全部本质进行接触；这也就是相互渗透的定义。但不可能有这种渗透，所以也就不存在数学点。
我可以用一个更为准确的渗透观念来取代这个渗透观念，从而给予这个反驳一个答案。假设我们谈到渗透时所指的意义有两个，在它们的范围之内有两个没有空隙的物体彼此相互靠近，以致紧密无间，令结合而成的那一个物体在体积上丝毫不大于两个物体当中的任何一个；即我们在谈到渗透时指代的意义。但十分明显的是，这种渗透仅指两个物体中其一被保存了，而另一个被消灭了，但同时我们亦不可能具体识别出哪个被保存了，哪个被消灭了。在对其接触之前，我们有两个有关物体的概念。接触了以后，我们就只有一个有关物体的概念了。对这样两个在同一时间、同一地点内存在的，并且性质相同的物体，心灵无法保留它们彼此之间的任何差异的概念。
假如按照这种意义来理解渗透，认为它指的是一个物体在和另一个物体接触后便会立即消灭，那么我要问问你们所有人，他是否觉得一个有色的、可触知的点与另外的具有同样情况的点在接触以后，是否就必然消灭呢？反之，他岂不是很明显地看见了在这两点的结合以后产生的那个复合、可分的对象了吗？难道不是可以把这个对象分成两部分，同时这些部分虽然彼此相连，但依然保持它们各自的个别性和独立性吗？为了更加有利于我们防止这两个点的结合与混淆，他能够设想这两个点的颜色各不相同，从而有助于他的想象。两个分别具有红、蓝两个颜色的点不但能够相互接触，而且同时能够不被渗透或消灭。假如两个点要是不这样，那它们的结果将会如何呢？是两个点被消灭的结局吗？红点，亦或是蓝点呢？如果红、蓝两种颜色结合在一起，那么又能形成哪种新的颜色呢？
在我们的感官与想象被运用到这类微小对象中时，存在着一种与生俱来的不足与不稳定性，这便是引发这些反驳、同时又令我们难以对这些反驳给予一个圆满答案的主要原因。尝试着在纸上画一墨点，而后退到完全看不见墨点的地方，你会看到，当你逐渐走近墨点的过程中，首先墨点是模模糊糊，若隐若现，随后可以很容易为我们所见；再后来，墨点的颜色渐浓，然而体积未增加；再后来，当它增加的程度达到了在我们看来真正占用空间时，想象还是无法将它分割成它的组成部分，这是由于想象不能很轻易地构想成像单一的点那样微小的对象。它的这个不足之处影响了目前我们这个题材上的大多数的推理，难以让人完全清晰、恰当地回答有关这个题材可能涉及的诸多问题。
（3）众多有关“广袤的部分”不可分说的反驳大部分都是来自数学，虽然看似数学是对现在这种学说有帮助的。尽管数学在它的证明过程中与现在这种学说截然相反，不过在它的定义上却是和现在这种学说完全符合的。因此，现在我的任务就是要为数学的定义进行辩护，同时反驳它的证明。
一个被定义成只有长度和宽度，但却没有厚度的面；一条被定义成只有长度，但却没有宽度与厚度的线；一个被定义成长度、宽度、厚度三者都没有的东西。很明显的事实，要是没有按照广袤是依据不可分的点或原子组合而成的这个假设，而依赖于其他的假设，那么这一套说法将完全无从理解。除了这个假设所设定的情景，会有没有长度、宽度或厚度的东西存在吗？
我在这个论证里发现了两个不一样的答复，但没有一个是令我满意的。第一个答复是关于几何学的那些对象，即研究它们的位置和比例的那些点、线与面的几何学，只是于心中的一些观念，它非但未曾存在于、并且永远也不会存在于大自然中。这些对象未曾存在过的原因在于没有自诩能够完全依据定义的要求去画一条线或一个面的人；这些对象永远也不会存在的原因在于我们可以利用在这些观念中所能提出的那些论证来证明它们不可能存在。但是，我们还能想到比这一推理更加荒谬和矛盾的说法吗？如果一个物体是通过清楚和明晰的观念而被想象出来的，那它一定涵摄其存在性和可能性；如果一个人自称根据从这个清晰观念获得的论证来对那个东西的不可能存在性加以证明，实际上他也就是在向我们说明，我们之所以对它没有清晰的概念，是因为我们对它有一个清晰的概念。想要在能够被心灵清楚想象的任何事物当中找出矛盾来，那必将是一种徒然。如果它含有任何矛盾，那就不可被人想象了。
所以我们能够说，在认同了不可分的点存在的可能性与否认他的存在的可能性的这两种观念之间，没有任何中介；对于前面论证所作出的第二个答复，就有赖于后面这一原则了。有人提出这样的主张，即使我们不能够在一个没有任何宽度的情况下去想象一个长度，但我们能够利用一种两个单位仍旧结合，不必对其进行分离的抽象方法，仅是单独去考虑其中的一个单位，不去考虑另外一个，就像是我们在比较两个城镇间道路的长度时，往往忽略掉它们的宽度一样。无论在自然界还是在我们心中，长度和宽度都是不可分的；但这并不妨碍我们依据前面介绍的方法去作一个片面的考虑和理性的区别。
在对反驳这个答复时，我当然能够引用我之前已经进行一番充分地说明的那一论证，即如果心灵无法在它的观念上达到最小的限度，那么它的能力一定是无限的，只有具备了这一条件，才有可能接纳它的组成的任何广袤观念的那些若干部分。但是在这里我不坚守我的这个论证，因为我想力争在上述的推理中找出一些新的错误来。
一个点是一条线的界限，一条线是一个面的界限，一个面是一个立体的界限：不过我敢肯定的是，如果对于一个面、一条线或一个点来说，它们的观念是可分的，那么我们便无法对这些界限加以想象。因为，如果假设这些观念可以被无限可分，接着再竭力把想象固定于最后的点、线或面的观念上，想象就能当即发现，最后的观念分割成了其中的一部分；而当想象攫取到的是部分中最后一个对象时，又会因为一次新的分裂的到来而变得不可遏制，如此循环往复无限制地继续下去，想象永远也达不到最后一个观念。无论进行分裂的次数是多少，都不会像在想象中所形成的最初观念那样，能使想象更加接近于最后的分裂。由于我们很难掌控得了每个分子的每一次新的分裂，这和我们费尽心思想去抓住水银一样。但是，因为必须要有一个能够充当每一个有限数量观念的界限的观念，而且这个界限观念自身的组成部分不能再是某些部分或较小的观念，否则观念的界限就只有它的结束部分来充当了，（可以一直这样推论下去）；这就明确了有关点、线和面的观念不被允许再分了，具体说来就是点的观念就是在长度、宽度以及厚度的任何一方面都不能再分，而线的观念是在宽度与厚度上不可以再分，面的观念则是在厚度上的不可再分。
那些烦琐的哲学家们深知这种论证的力量，他们中间的一些人因此就觉得，自然使那些无限可分的物质分子夹杂了某些数学点，以便用来充当物体的界限；其他一些人由于想要避开这个论证的力量而详加列举出一大通不具任何意义的指摘与区别。当然，这两种敌人都甘拜下风了。一个逃跑的人和公开交出武器的人没有什么两样，很明显，事实上他们都已经承认了敌人的强势。
由此可知，数学的定义将它的那些所谓的证明推翻了；如果我们的不可分的点、线、面的观念和定义相符合，那么它们的存在确实是一种可能；反之，我们便想象不出任何一个有关形的界限，从而更加不可能有几何的证明。
但是我还能够做进一步的证明，这些证明不具备一种足以创建像无限可分说原则那样一种充分的力量。原因在于，对于这些微小的对象而言，它们所依赖的并非精确的观念，同时依赖的原理也并不完全正确，所以可以断言这些证明不恰当。当几何学对于数量的比例起一定程度的决定作用时，我们不应该要求它达到极端的确切和精准。没有一个几何的证明可以达到此种程度。它正确地设定形的度次和比例，但某些方面来说这种设定可以说是粗略地，甚至有些随意。几何学从来都不会犯重大错误，如果几何学不是力争达到那样一种极致的完美，根本就不会有错误出现。
首先我要向数学家们发问，当他们说一个面或一条线小于、大于或等于另一个面或一条线时，他们所指的意义何在呢？任何一位数学家不管他是哪个学派，也不管他是提倡广袤是由无限可分的数量组成的，抑或由不可分的点组成的。想要令其对这个问题作出答复，两种人将会同样感到困难。
对于不可分的点的假设，很少或者甚至没有数学家对其支持；但对于现在这个问题给予最敏捷、最确切的答复恰恰就是这些数学家们。他们只要回答说：当一些线或面中间的点具有相同数目的时候，这些线或面亦就是相等的，并且其比例会随着点数目、比例的变化而发生改变。虽然这个答复是显而易见的，同时也是确切的，可是我依然可以十分肯定地说，这个相等的标准完全没有用处，就算我们在决定一些对象相等与否的时候，也永远不以这样一种比较作为参照。因为，无论是由视觉还是触觉感知到的构成任何线或面的那些点，都是如此地微小和混乱，所以心灵计算不出它们的数量，而且这种计算方法永远无法给予我们一个能够辨别各种比例的衡量标准。任何人都不会通过精确的计数去丈量，一英寸所含的点是否比一英尺要少，还是一英尺所含的点是否会比一埃或别的较长尺度少，等等，诸如此类。我们很少甚至永远不会把这种计数法看作相等或不相等的衡量标准。原因就在于此了。
设想广袤是无限可分的那些人，他们就无法利用这个答复，或者根据任何一个面、一条线组成部分的计数，去判断这个面或者这条线是否与另外的面或线相等。因为，依据他们的假设所说，既然最小的形和最大的形都包括了无数的部分，确切地说，无数的部分之间又不能是相等或不等的关系，那么绝对不可以用来判断它们部分的数目的任一比例。诚然，人们当然可以把一埃和一码看成不相等的，那是因为构成两者的英尺数不一样，而一英尺与一码不相等又是因为组成两者的英寸数的不同。因为在某种长度意义上被称为英寸的那个数量被假定成了和在另一种长度意义上我们所说的吋相等，但因为心灵无法无限地从对这些较小数量的参考中发现这种等量的关系；显然，最后我们就不得不再次确立一个不同于部分计数法的标准。
还有一些人认为，相等且最好的定义莫过于相合，我们说两个形相等时，那必定是任何两个形之间相互重叠、同时它们的每一部分都是彼此符合和接合着的时候，要对这个定义加以判断的话，我们不妨作如下思考：因为相等是一种关系，所以从严格的意义上来讲，相等并不属于形本身的特性之一，而只是来自心灵对一些形所作的那些比较。因此，如果相等关系表现在各部分彼此的这种设想的叠合和彼此接触，那么我们至少要对这些部分有一个清楚的概念，一定还要想象到它们彼此的接触。但是很显然，在这样的一种想象中，我们要将这些部分分裂成我们所能想象得到的最小限度；这是因为较大部分之间的接触不可能令这些形相等。但是实际上我们能够想象得到的最小部分便是数学点了；所以可以得出，这一相等标准和点数相等的标准是相同的；而我们已经断定后面这个标准是一个虽确切但无用的标准。于是，我们不得不从其他方面寻求解决现在这个问题的办法。
（有很多不愿确认任何相等标准的哲学家，他们认为，只要拿出相等的两个对象来，就足以给出我们所依据比例的一个准确观念。他们说，如果对这一类对象没有知觉，一切定义将会全部没有任何作用；而当我们对这类对象有知觉时，就无须任何定义了。对于这个推理我是非常赞同的，我还主张，有关相等或不相等唯一有用的概念来源于各个特殊对象的整体现象与相互比较。）
显然，与其说眼睛，倒不如说是心灵，在物体呈现于眼前时，往往马上就能衡量出物体的比例，判断出它们是相等还是较大或较小，而不用再对它们微小部分的数目进行任何的考究或比较。这类的判断不仅十分普遍，而且在大多数情形下都是准确的。当一英尺的长度和一码的长度同时出现时，此时的心灵就像无法对那些最清晰、最明白的原理产生质疑一样，不能怀疑码比英尺长。
因此，心灵将它对象中的一般现象划分为较大、较小、相等三种比例，但心灵对于这些比例的衡量虽然有时是正确的，但情况不是一直如此；这一类的判断与其他任何题材的判断一样，仍然难逃怀疑和错误。我们通常习惯用检查和反省来更正我们第一次提出的观点：我们会承认我们先前觉得不相等的对象现在是相等的，以及把原来认为比另一个对象大的那个对象更正为较小的。为了让我们及时发现自己的错误，我们感官上的这种判断不仅仅局限于这样的校正；通常还会将一些对象并列在一起。但是当我们无法对其进行并列的时候，我们为了获知各处不同的比例报告，便会采用一种他们共有的、不变的尺度对其进行连续地度量，这种校正还允许利用新的校正来加以度量，同时也允许存在多种多样的精确程度，这就得依据在度量物体时我们所采用工具的性质，以及在进行比较时我们的认真程度来决定。
因此，在心灵适应了这些判断与校正方法，同时发现使两个形表现出我们之所以认为是相等的这一现象的那个共同的比例，当然也使这两个形相互符合，并且在与比量它们的任一变同尺度相符合的时候，我们便由精密的与粗略的这样两种方法的比较中得出一个有关相等的混合概念。但是我们不会就此满足。因为，健全的理性让我们确信，除了于感官前所呈现出的物象之外，还有比它们小很多的物体；但同时理性又不得不让我们确信，还有无限小的物体；所以我们便清楚地意识到，不存在任何能够让自己免于一切的错误和消除不确定的度量的工具或技术。我们还清楚地知道，不论是在现象中抑或是在度量时，对于增加或减少这种微小的部分的某一个是觉察不出的；而因为我们设想在经过了增加或者减少的原来相等的两个形，它们不可能再次相等所进行的想象，因而我们又假定了一种相等标准，以便能够使精确地校正种种现象与度量各种比例，并把不同的形全部归纳到那个比例中。很明显，这个标准是我们假想出来的。因为，既然相等观念自身是根据并列与共有尺度所校正过的一个特殊现象的观念，所以除了可以利用工具、技术进行校正的方式，其他所有的校正概念都是既无法理解，又没有任何效用的，只不过是系于心灵的一种虚构罢了。虽然这个标准只是一个假想，但是虚构得很自然；而且即便中止了原本促使心灵进行一切活动的理由，心灵还是会以这样的方式不断持续下去，这也是一种常见现象。时间方面，这一点尤为明白。尽管我们还没有有关时间方面的能够度量各部分比例的精确方法，这里的精确程度还不如广袤方面的；可是测量标准的各种校正作用及其精确程度，却往往会给我们一个模糊和默认的完全相等的概念。同样的情况存在于许多其他题材中。一个音乐家发觉自己的听觉逐渐地变得敏锐、精细，同时注意经常校正和反省自己，所以就算自己处于对题材无能为力的状况下，依然能够继续同样的心理活动，并觉得自己对于第三音或者第八音的概念的理解也还是全面的，虽然他自己不知道他的标准来自何处。一个画家在颜色上也使用了这样的虚构方法。一个机匠对于运动同样如此，画家假想明与暗，机匠假想快与慢，都觉得存在一种超越了感官判断的精确的相等与比较。
同样的推理也能被我们应用在曲线和直线上。对于感官，最为明显的对比莫过于曲线和直线的区别了，这些对象的观念也是我们最易于形成的。但是，无论我们多么易于形成这些观念，却举不出任何能够确定它们准确界限的定义来。对于我们在纸上或者连续面上画出的那些线条，它们会以一定的秩序完成从一点到另一点的移动。所以它能够产生一条直线或者曲线的完整印象；但是我们却完全不知道这种秩序，观察到的是一种合成的现象。所以，即使以不可分的点的理论作为依据，这些对象在我们心中所形成的只不过是一个不知道标准的模糊概念。如果我们以无限可分说作为依据，可能我们就不会走到这么远的地步，只能依据一般的现象，把它作为判断一些线条是曲线还是直线的标准。对于这些线条，虽然我们还不能提出任何较为完善的定义，同时也举不出一个非常准确的方法来对一条线和另外一条线进行区别；但这不会对我们作更精确的考究产生影响，并用经由我们多次试验觉得其具有可靠的一个准则来进行比较，使最初的现象得到校正。因为这些校正以及在心灵已经没有理性充当其依据时仍然要持续同种活动，对于这些形，我们便因此形成一个具有完善准则的模糊观念，即使我们无法说明或理解。
对于数学家们所说的“直线即两点之间最短的路线”，的确，这是由自以为是的他们下的一个精确的直线定义。但首先我要强调的是，这并非直线的正确定义，更恰当地说，应该是有关它的一个特性的发现。因为在对任何人提到直线时，他当即想到的是那么一个的特殊现象，偶然间才会想起这种特性。我们可以很好地理解单独的一条直线，但如果我们没有把它与被我们想象成较长的那些其他线条进行比较的话，这个定义就无从理解。生活中往往存在着一个已经被确立的原理—最直的路线都是那些最短的路线；如果我们的直线观念与上述直线观念并没有什么不同的话，这就与两点之间最短的路线就是直线说法一样荒谬。
其次，我再说一遍我已经确定了的说法，即我们不仅没有精确的曲线或者直线的观念，同时也没有精确的相等或者不等以及较短、较长的观念；因此，后者绝对不会为我们提供一个有关前者的完善标准。永远不能把一个精确的观念确立在那种模糊、不确定的观念上。
和直线的观念一样，平面的观念亦不可能有一个十分精确的标准，对于判别这样一个平面的方法，除了平面的普遍现象，我们就再无其他任何方法。数学家们所说的“一条直线的移动产生了平面”，实际上这是无效的。我们可以马上提出反对观点：我们的平面观念并不取决于形成平面的这种方法，正如我们的椭圆形观念不是取决于锥形的观念一样；平面观念也不一定比直线观念更加精确；在一条直线进行不规则地移动时，形成的有可能是一个与平面截然不同的形；因此，我们假设的条件必须是这条直线要沿着相互平行、且在同一平面上的直线移动；这就达到了利用事物本身来证明这个事物的一个循环论证的说法。
由此来看，对于几何学中直线与平面、相等与不相等那样一些最根本的观念，从我们想象它们时所采用的一般方法来看，这些观念远远不是确切和肯定的。不仅在我们对于其产生质疑时无法说出：那些特殊的形何时是相等的，那条线何时是一条直线以及那个面何时是一个平面；而且我们也不能形成对于那个比例以及这些形的任何稳定、不变的观念。我们仍然只能把希望寄托在我们依赖对象的现象所产生的、并以圆规或者共同尺度进行校正的那个脆弱无力且易错的判断。我们要是再假设进一步的校正的话，那么这一假设的校正如果不是没用的，就是假想的。如果我们选择了那种一般说法，引用一个有关神的假设，认为无所不能的神既可以让它产生一个完善的几何的形的同时，又能画出一条不曾弯曲的直线—这亦是徒然。既然这些形的最终标准只是来自感官和想象，所以如果在这些官能的判断所涉及的程度以外再去谈论任何完善性，那岂不是荒谬？因为所有事物真正的完善性在于符合它的标准。
我要向每一位数学家发问，既然这些观念是如此的模糊和不确定，那么他无论对于数学中那些比较艰涩难懂的命题，还是对于一些最通俗、最浅显的原理，又有怎样准确无误的信据呢？比如说，他如何向我证明，两条直线没有一个共同的线段？又怎么证实，不能在任何两点之间画出的直线数目在一条以上呢？如果他回答说，这些观点与我们所清晰了解的观念相违背，显然是错误的。那么我的回答就会是，当两条直线因相互倾斜而产生了一个较为明显的角度时，要求想象那两条线有一个共同的线段肯定是错误的，对于这个说法我并不否认。但是假定这两条线以差一英寸不到六十英里的倾斜度彼此相互靠近，结果当这两条线在接触的过程中将会逐渐变成一条线，对此我便没有觉察出有何错误。因为，当我问你时，你的回答是，假定两条线相合而成的那条线，不可能和含有一个极小的角度的两条直线所形成的那条直线一样，这时候你的判断准则或标准是什么呢？你会有和这一条线不一致的某种直线观念。那么你的话是否意味着，一条线中点的排列顺序以及它们所依据的规则，不同于一条直线所遵循的、同时也是它的根本条件的那个顺序与规则？如果事实果真如此，那么我就得告诉你，若是按照这种方式加以判断，你就已经认同了广袤是根据不可分的点组合而成的（当然，这一定超出了你的本意），此外，我还要告诉你的是，它也不是形成一条直线观念时我们所依据的判断标准；即便如此，对于我们的感官或者想象的稳定性来说，也不可能大到足以准确判断出那个秩序什么时候遭破坏了、什么时候被保存了。其实直线的原始标准只不过是某种一般的现象；虽然这是一个经过了所有现实的或想象的方法校正的标准，我们仍然能够使直线的相合部分继续和这个标准相符合。
（无论数学家们转到哪个方向，同样会遇到这样的困难。他们如果采用的是一个精密、确切的标准—计数微小的和不可分的部分，来对是否相等或者其他比例进行断定和评判，那么他们既是真正以一个无效的标准来判断，而又无形中建构了他们所力图破坏的广袤部分的不可分说。他们如果按照以往的做法，在某些一般现象的对象之间对比的结果中推出的一个粗略的标准，把它拿来应用，并且以度量与并列的方法进行校正；虽然他们那些最初的原则的确是准确无误的，但还是太粗略了，其判断能力不足以为他们提供这部分内容需要的那些精确的推论。这些最初原则是在感官与想象方面建立起来的。由此可知，结论不能够超越这些官能的范围，更不可以与其抵触。）
这样可以进一步开拓我们的眼界，还能让我们知道，广袤无限可分性的一切几何的论证，并没有像我们理所当然认为的那些以辉煌名义作为坚强后盾的每一个论证一样，具有那么强大的力量。同时，我们还可以获知，为何几何学的任何其他的推理都可得到我们的彻底的赞同和认可，而单单在这一问题上却显得证据不足。的确，我们现在要做的应该是找出这个例外出现的理由，并认定无限可分说采用的所有数学论证都是彻底诡辩，而不是指出我们实际上非要作出这样一个例外。因为，既然一切数量观念都不是无限可分的，那么要企图说明那个数量自身接受那样一种分割，同时也要通过在这方面与它截然相反的那些观念来进行证明，很显然是错误的了。这种错误本身已是很明显了，那么对于把它当作基础的那些论证必定存在明显的矛盾，所以一定还会有新的错误产生。
我还能够给出一部分由接触点得来的有关无限可分性的论证来作为例证。我知道，任何数学家都不喜欢仅凭纸上所画出的图形就对其进行判断的这样一种形式，他会解释说，这些图形不过是一些粗略的草稿，只是比较简单地说明了作为一切推理的真实基础的我们的部分观念。我十分同意这一说法，同时甘愿把争论仅限于这些观念之上。因此，我希望数学家们在一个圆和一条直线的形成观念方面尽量做到精确。接下来我又问，在对两者的接触进行想象的时候，他想象的是线与圆在同一个数学点上进行相互间的接触呢，还是不得不在一段空间中相合上呢？无论他选择的是哪一种，都将陷于一样的困境。假如他能肯定地说，他在想象中勾勒这些形的轮廓时，想象到了线与圆仅是在一点上进行接触，那么也就意味着他承认了那个观念存在的可能性，也就是那个对象存在的可能性。如果他还说，在他想象那些线条相互接触的时候，只能令其相合，那他也就认同了几何学证明过程在进展到超越了某种微小程度之时，出现了错误；因他的确有否认一个圆与一条线相合的那些证明，换言之，就是他同时也可以证实一个观念，相合的观念与另外的两个观念，即一个圆和一条直线是不相容的，虽然他同意这些观念是不可分开的这一说法。