开集与闭集：
复述之前提到的一个观点：一个积极的人生，意味着必须力争上游，不断地超越自我。
超越自我。这是现代社会相当流行的一句口号。
我们真的能超越自我吗？
在“我会弹琴”这个关于才艺的“自定义是”判断里，如何才算是“会弹琴”其实很难界定，只要我懂得用手指在琴弦上拨动，从数理的角度看乱弹琴也算是会弹琴，我并没有“强词夺理”。另一方面，无论我弹得如何精湛，“下一次”仍然有“超越”的可能。
集合论里面，还有“开集和闭集”之说。两者的区别在于对“界线”（上下限）的定义：开集可以无限接近于界线，但永远不能与界线重合；闭集则与界线重合，意思是闭集包含了其所有的极限点。例如：一个集合X是大于1而小于100，这个X就是一个开集（因为不包括1和100），开集的概念相当于一幅印象派画，轮廓模糊；如果一个集合X是大于或等于1，小于或等于100，这个X就是一个闭集，一个闭集相当于一个轮廓清晰界线分明的模型。
既然是轮廓清晰界线分明的模型，也就是“改一点都不行”，因此，闭集的自由度等于零。
开集的补集是闭集；闭集的补集是开集。
但在现实世界里，不存在任何真正意义上的闭集。
任何“是”判断目标，都是集合。任何集合（严格而言是任何“非空集合”），都必然与“非”场同时存在“且属于”及“或属于”的后因果关系，从而表现出智能性共享的，具有逻辑意义但“无可无不可”的模糊性质的开集。
辩证法认为：事物都是“运动发展变化”的，这种“发展观”可谓“一语中的”。但辩证法把“运动发展变化”的根因表述为因矛盾而产生的斗争性，这种说法就值得商榷了。笔者认为：以状态（交集）为论域，开集的模糊性与（自定义）交集的滞后性及容错性产生冲突，事物就表现出斗争性；以关系（并集）为论域，开集的模糊性就让关系（并集）显得“如鱼得水”，事物就表现出“共享”、“共生”的“和谐”的“活力性”——这就是大自然“生机勃勃”的根因（本文下卷会继续讨论这“活力性”的“根因的根因”）。
因此，上一节的一段内容需要作以下修改：
在观察者眼里，自然界中种种化学或物理作用表现出活力性为人类所认知。
在观察者眼里，生物界中，因为“我需要”而产生出以“物竞天择，适者生存”为法则的竞争性。
人们常说：有人的地方就有纷争。人类社会古往今来的纷争概括起来不过是无数大大小小的“是”判断在“单挑或打群架”。“是”判断会“单挑或打群架”，是因为人性中的“我想要”具有斗争性。
“是”判断目标一定表现为开集。这是“是”判断逻辑属性的第十五个重要外延。
当以状态为论域，开集就表现出悖论性。开集的悖论性是交集这个概念自身的内涵与外延相悖的根本原因。
这亦是“模糊数学”诞生的背景：开集，具有模糊性。现实中的事物皆具有不确定性，即模糊性。我们以为可以确定，只是我们在主观上的“屏蔽”行为。集合中的元素皆具有后因果关系下同时存在的互异性及无序性，因此现实中任何事物都具有开集的性质（有关模糊性、空集、并集、交集、开集之间的“关系”，将在下卷进一步讨论）。
模糊性之所以“模糊”，是因为我们总是弄不清状态与关系之间的“关系悖论”：
状态必须通过（与外界）关系才能确定；但（与外界）有关系却意味着状态不确定。
“关系”一词本身就带有一种动态的“起作用”的“联动性”。
“真的”确定了的状态，意味着此状态不再与外界发生关系或者与外界关系已经“固定”（被捏着的琴弦）。
而“固定”其实是暗含有静态的“不再发生关系”之意。
只有不确定，才会有“发生关系”的可能。
认为关系可以明确确定，依据的依然是后因果关系逻辑。因此在自定义真实关系中，开集的模糊性就为交集的价值性共有带来了困惑：本以为可以“完全属于”的自定义真实关系下产生的交集，却总是表现出开集的模式（婚姻中的“出轨”就是开集带来的困惑）。由于开集可以无限接近于界线，但又永远不与界线重合，这就给人予“没有界限”的错觉——无限自由的错觉：模糊性的最大值为百分之百，即开集具有逻辑意义上百分之百的自由度——开集即海德格尔所认为的“存在却避让的”、“本真”的“上手状态”；交集即海德格尔所认为的能感受其存在的、非本真的“现成状态”。
“会弹琴”这个才艺就是一个典型的开集。既然没有界限，当抚琴者完全“融入”，达至“本真的上手状态”，就可以尽情地自由发挥，可以不断向顶峰逼近，甚至可以“超水准”发挥。
此外，开集的其中一种性质是：有限个开集的交集依然是开集。以现实世界的一切事物作为论域，如果命题以交集语义，都是有限个开集性质的交集，即都具有开放性。
 “多才多艺”就是这么一个有限多个才艺开集的交集，这个由多种才艺组成的交集同样具有开集的性质。既然每一样才艺都没有界限，因此“多才多艺”这个交集当然就更加没有界限了，自由度当然是更大了。既然没有界限，不断地“超越自我”是理所当然“行得通”的事。人类文明，不断地“超越自我”进行突破与创新同样是理所当然“行得通”的事。
但实际上，无人能够超越自我。
因为开集还有一个相当特别的性质：任何开集的边界都有一条看不见的、永远不能超越的“红线”。当接近红线时，会产生“紧致性（收敛性）”，越是逼近红线（即无限接近上下限）的地方，紧致性越明显，自由度越少，从而形成一个与理论中的闭集极其相似的具有封闭性质但又始终不是闭集的开集。数学家由此而建立并发展出微积分学。
现象界的物质性及其变化规律性，“在人看来”都含有“紧致性”。
这种“紧致性”，去到“量子世界”，就叫做“泡利不相容原理”：以“状态”存在的“费米子”，根据泡利不相容原理而相互排斥、堆叠，形成不同的壳层结构占据不同的空间，最终形成具有“广延性”因此被叫做“体积”的宏观物质。而不遵循泡利不相容原理的“玻色子”不具备广延性，是因为玻色子是以“关系”存在——玻色子的“关系性”，令世界充满了“相互作用”的活力。
紧致性，其实就是任何自定义模式的生命体，因需求而必须确定“有真值的他适应”时所具有的封闭属性：有真值的且属于越来越确定，以至于排斥性的“非”场越来越厚实。多个开集组成的交集的界线附近，由于自由度无限接近于零的意义，界线就会具有确定无疑的边界特征，交集最终就符合了数理逻辑中“哥德尔完备性定理”对“模型”的封闭要求——这就是自定义真实产生的学术性阐述：最终形成开集的补集——闭集。
结果就是：在观察者眼中，物质及其运动发展变化因紧致性呈现出种种相对稳定的封闭“模型（状态）”，而成为我们所认识的丰富多样的具有实质感的现实世界。而我们所认识的宇宙，其模型具有“有限而无界”的矛盾特性，在数学家的描述中，就成为一个“紧致而无边的闭流形”。
当“自证”时，特别是妄图以“最优秀”或寻求“越多越好”的开集来证明自我这个“交集”，甚至是努力地“超越自我”时，其产生的“紧致性”，同样会呈现出“模型”的特征。紧致性越明显，“模型”的界线越清晰，最终就是自己令自己变成了某种（性格上）与周围环境（他者）格格不入（不再发生关系）的“模型”。
这个模型用于“他证”时，模型的语形能够在逻辑上通过语义形式证明其有效性，因此能够帮助我们在表面上准确地表达或正确地认识“客观”（实际上是主观）事物。但其绝对意义上的开放性所具有的模糊性及由此而引起的震荡与重复，又不断地令我们陷入困惑之中。
这种困惑，反映在现实中就是前面所提到的问题：在科学技术一日千里的形势下，为什么现代人活得越来越忙碌？生活压力和精神的压力越来越大？
自证和他证之间存在着结构性的关联。
本章第一节已经讨论过，我们不能自我自涉，无论“我是什么”都是一个假命题。问题是，这个假命题已成为了我们的“精神支柱”，支撑着我们的一生。但因为是假命题，其立论总是站不住脚，结论总是禁不住推敲的伪命题。即这个精神支柱总是脆弱的。
为了维持这个脆弱的精神支柱，我们唯有更积极地寻求他证。即任何人都绝不可能真正与外界隔绝，意思是任何自证必然建立在他证的基础上：只有证明了“什么是什么”，才有可能证明“我是什么”。或者反过来说：要证明“我是什么”，必须首先证明“什么是什么”。“什么是什么”越确定，“我是什么”这个关于自我的模型就越确定。
当这种结构性关联走向极端时，就会出现两种结果。
 一种结果是：由于“他证”一定是他涉，即一定是通过“他他分别”而进行。一个“他”的周围，一定有不止一个的“其他”。模型越精确，周围的“其他”越多，指者为了维护他者的“纯正性、唯一性”，就必须遵循后因果关系逻辑，以有限过程对付无穷的模式，永不终止地排斥、清除“其他的他”。而要排斥、清除“其他的他”，这些“其他”首先同样需要得以证明。这就是现代人活得越来越忙碌的真相：所谓生活压力，源自于我们不得不不断地证明然后排斥清除越来越多的“其他的他者”。
另一种结果是：自我的模型越确定，周围的“它”越多，“没有界限”的错觉自然就越强烈，因此越容易得出“没有界限”的结论。强烈的错觉会鼓励着我们更狂热地追求自我的进一步超越。
但实际上却是：自我的模型越确定，边界越“紧致”。