从数学角度归纳起来有四类问题：

1．已知变速运动的路程为时间的函数，求瞬时速度及加速度；或相反。

2．求曲线的切线。

3．求函数的最大值、最小值。

4．求曲线长、曲线围成的面积、曲而包围的体积等。

解决这四类问题，就数学来说要用到导数、微分与积分的概念。

 图1

恩格斯说：“社会一旦有技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进。”（《马恩选集》四卷505页）社会的发展，生产的需要，科学的进步，向数学提出了解决上述四类问题的要求。于是，十七世纪的数学家们踏着前辈的足迹向微积分挺进了。 

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微积分的先驱者
早在古代就有了微积分思想的萌芽。比如古代的人民用方砖砌圆；我国魏晋时刘徽的“割圆术”；祖暅原理及庄子的“一尺之棰，日去其半，万世不竭”等等，都涉及到以直代曲和极限观念，属于微积分的朴素思想。古希腊欧多克萨斯、阿基米德利用“穷竭法”确定曲线围成的面积，依据的是无穷小分析原理，这也是微积分思想的萌芽。但是真正形成微积分思想是十七世纪的事情。十七世纪法国数学家罗伯瓦、费马，英国的巴鲁，他们都各自研究出求曲线切线的方法。费马在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中讨论了求函数极值的问题；法国开普勒的《测量酒桶体积的新科学》（1615年）涉及到求面积、体积、重心等问题；意大利卡瓦列利的《不可分连续量几何》（1635年）用不可分原理制定了一种简单的微积分。图2特别值得提出的是英国人瓦里斯的《无穷小算术》（1655年），运用了代数学形式，分析学方法及函数极限的初步概念，计算出很多闭曲线的面积：格列哥里的《论圆和双曲线的求积》（1667年）明确指出求面积、体积、曲线长度需要用到与加、减、乘、除、乘方不相同的极限运算方法；巴鲁的《几何学讲义》（1760年）还提出了积与商的微分法则及求定积分的一些个别的方法。这三位数学家是创立微积分的重要的先驱者。笛卡儿建立了坐标系，把变数引进了数学，为微积分的研究提供了工具。
02

牛顿和莱布尼兹的贡献
世界著名的英国科学家牛顿（1642—1727）少年时就矢志献身科学，甘愿受“荆棘冠冕”的刺痛，三十多岁就熬白了头发。他的横溢的才华闪耀在数学、物理、天文等各个科学领域。图3 牛顿牛顿在伦敦剑桥大学即将毕业时，为躲避当时流行的瘟疫返回家乡。牛顿的“流数术”（微积分）就是这时发明的。牛顿受业于数学教授巴鲁，从他的《几何学讲义》里学到了微积分的初步思想和无穷小分析的一些方法。此外，正如牛顿所说：“我从费马的切线作法中得到了这个方法（流数术）的启示。我推广了它。把它直接地并且反过来应用于抽象的方程上。”牛顿还受到瓦里斯的直接影响，利用他的《无穷小算术》提出的求闭合曲线面积的结果，研究出了流数术。牛顿在1665年5月20日的手稿里第一次提出“流数术”。有人就把这一夭当做微积分的诞生日。形成牛顿流数术理论的，主要有三个著作：《运用无穷多项方程的分析学》、《流数术和无穷级数》和《求曲边形的面积》。第一篇著作写于1669年，正式发表于1771年。其中给出了求瞬时变化率的普遍方法，并证明面积可由变化率的逆过程求得。这是个重要的突破，它阐明了微分与积分的联系，即现在所谓的微积分基本定理。当然，牛顿的推导在方法上与逻辑上是不严密的。第二篇著作写于1671年，1763年发表。在这篇著作里，他改变了过去静止的观点，认为变量是由点、线、面连续运动而产生的。他把变量叫做“流”，把变量的变化率叫做 “流数”。牛顿还明确指出“流数术”的中心内容包括：（1）已知连续运动的路程，求某一确定时刻的速度（即微分法）。（2）已知运动的速度求某一确定时间内经过的路程（即积分法）。（3）将流数术用于求曲线的极值，计算曲线的切线、曲率、弧长、面积等。最后一篇著作写于1676年，发表于1704年。是研究可求积（可积分的）曲线的经典文献。牛顿为了建立没有“无穷小”的微积分，消除不严密的“无穷小”的说法，在这篇文章里代之以“最初和最后的比”的说法，但这仍是一个不严格的模糊概念。牛顿在微积分上取得了极为重要的创造性的成果。但由于缺乏清晰严格的“极限”和“无穷小”的概念，未能把微积分建立在牢固的基础上，因而遭到了一些人的批评和攻击。莱布尼兹（1646—1716）是德国杰出的博学多才的科学家。他的学识涉及到数学、物理、机械、哲学、历史、语言以至神学方面。大学毕业后，他长期从事外交工作，研究数学只是他的业余爱好。他是数理逻辑学的开山祖师，是机械计算机的发明人之一。 图4 莱布尼兹莱布尼兹在治学上思绪奔放，厚积薄发，1671至1677年间写下了大量数学笔记，却从未发表出来。正是在这段时间里，他引进常量、变量与参变量等概念，从研究几何问题入手，完成了微积分的基本计算理论。他研究了巴鲁的著作，理解到微分和积分是互逆的运算。他还创造了微分符号 dx、 dxn以及积分符号∫；并给出复合函数求导法则，幂函数、指数函数、对数函数的求导法则，以及和、差、积、 商、幂、方根的求导法则；还于1680年得出用微积分求旋转体体积的公式。莱布尼兹1680年公开发表了数学史上第一篇微分学论文《一种求极大、极小和切线的新方法》，1686年公开发表了第一篇积分学论文。莱布尼兹的微积分，虽然在与物理学的结合上不如牛顿，但方法更富有想象力与启发性。他首创的微积分符号简明精确，对微积分的发展起了强大的推动作用，一直在全世界流传至今。但是他的理论不系统、不严密，很难为一般人理解。幸好，欧洲大陆的数学家们，如瑞士数学家族的伯努利兄弟等，热衷于他的学说，整理并发展了他那些纲领性的、摘要式的著作，陆续发表了《微积分初步》等著作，使莱布尼兹的微积分得以发扬光大。 图5 伯努利家族
03

微积分发明权的无聊争论
牛顿与莱布尼兹在微积分的创立上，都做出了杰出的贡献。可是，数学史上围绕微积分的发明权却发生了一场历时百年的无聊争论。这场争论是由瑞士的丢利埃于1699年挑起来的，他断言莱布尼兹的微积分是抄袭了牛顿的成果。莱布尼兹当即反驳，在1605年反唇相讥，暗示牛顿剽窃了他的成果。一石激起了两个民族情感上的轩然大波。英国皇家调查会的报告说：“牛顿是微积分的创始人”，“莱布尼兹抄袭了牛顿的流数术”。英、德两国各持一端，愈争愈烈。直到牛顿与莱布尼兹都去世了，他们的追随者们仍然争论不休，绵延到十九世纪二十年代才算平息。图6 牛顿与莱布尼兹的争论牛顿曾回忆道：1676年“在和非常博学的数学家G・W・莱布尼兹的通信中，我告诉他我发明了一种可以求出极大值和极小值、画出切线并解答类似数学问题的方法……我没有把方法告诉他。这位著名人物回信告诉我，他也想到了同类型的一种方法，并把它告诉了我。他的方法除了定义、符号、公式和产生数的想法在形式上和我的不一样以外，几乎没有多大的差异。”1675年10月29日，莱布尼兹的手稿中已经有了微积分的符号。可见，莱布尼兹在没有得到牛顿的消息之前已经发明了微积分，他俩是各自独立发明的。牛顿发明的时间比莱布尼兹早十年，而莱布尼兹公开发表的时间比牛顿早三年。无聊的争论搀杂进了偏激的民族感情。英国当时固执于对牛顿的迷信，拒绝接受莱布尼兹及大陆学者对微积分的发展，致使英伦三岛的数学水平远远落后于欧洲大陆。
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人类精神的最高胜利
微积分的主要理论基础是极限论。可是，当时“极限”、“无穷小”、“连续”等基本概念是不精确的，极限论是不完善的。微积分理论基础不稳固的缺点，被一些唯心主义者抓住，进行了猛烈的攻击。英国神学家贝克莱就是攻击微积分的典型代表。牛顿的好友、数学家哈雷不信仰宗教，劝说贝克莱的病中的朋友拒绝了宗教的祈祷。贝克莱大怒，于1734年发表了一本小册子，名为《分析学家——与一个不信神的数学家的对话》。咒骂微积分的推导是“分明的诡辩”，污蔑微积分“招摇撞骗，把人们引入歧途”。他极尽谩骂之能事，实质在兜售唯心论，维护宗教神学。与此同时，莱布尼兹在大陆上也遭到荷兰纽文提的责难。纽文提认为莱布尼兹说不清“无穷小量”与“0”的区别，并认为在推导过程中不应略去无穷小量。法国数学家罗尔也曾经反对过微积分。在贝克莱的挑动下，造成了数学史上的“第二次危机”。展开了一场关于微积分奠基问题的大论战，长达十多年之久。当时的著名物理学家朱林，数学家马克劳林、泰勒等，对贝克莱进行了强烈的反驳。同时，这场论战也激励着大批数学家，如法国的达兰贝尔、拉格朗日等对微积分的基础概念做了深入的探讨，促进了微积分理论基础的建设。这正是“皆知敌之害，而不知为利之大”（柳宗元：《敌戒》）的道理。微积分在实践中的胜利，迫使贝克莱后来也不得不承认：“流数术是一把万能的钥匙，借着它，近代数学家打开了几何以至大自然的秘密。”图7 马克思马克思在《数学手稿》中深入地研究了微积分的发展史，对微积分的本质进行了精湛的剖析，最后完成了微积分的奠基工作。恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。”（恩格斯：《自然辩证法》244页）