底线思维非常重要。就是要思考最基本的问题。思考基本定理。
 
这里，我们从实数最基本的加法定理来证明：
 
加法的逆运算——减法是可行的。也就是说，证明两数的差是真的。
 
加法的基本性质：
 
1. a + b = b + a
2. ( a +b ) + c = a + ( b +c )
3. a + 0 = a
4. a + ( -a ) = 0
 
我们首先给差定义：使c+b=a 的数c成为数a与b 的差。
 
之所以要这样定义，是因为我们现在还没有证明减法的合理性。大家看这多严谨啊。好，我们现在证明。
 
证明：
 
1. 我们首先假设有数c=a+(-b)，显然这样的数是存在的。那么，
 
 c+b = [a + (-b)] + b          
    = a + [(-b) + b ]           性质2
    = a + [ b + (-b) ]           性质1
    = a                     性质4
这样，我们就证明了，有数满足c+b=a，a与b的差为c成立。
 
然而，差是否唯一呢？那么，我们接下来证明。
 
2. 我们假设有差c’, c’+b=a，这样就有
 
 (c’+b) + (-b) = c’+[(-b) + b]
           = c’+[b + (-b )]     性质2
           =c’+0            性质4
           =c’              性质3
  这就等于，c’=(c’+b)+(-b)=a+(-b)=c, 就是说
  一个数满足差的定义就一定是差定义的那个数，所以
 
所以，这样我们就证明了差是存在的，而且是唯一的。
 
证明完毕。
  在证明了差的性质后，我们可以得出一系列重要推论：
 
推论1：因为差的单值性，所以，对任意给定数，只有唯一数0满足性质3.
 
推论2：0=a-a
 
推论3：(-a)=0-a
 
推论4: a=-(-a) 这3个推论说明，a和-a是对称数。大家可以自己试着用上面的几个加法和差的性质证明一下这些推论。
 
推论5：-(a+b)=(-a)+(-b)
 
推论6: a>b 与a-b>0 等价
 
推论7. ∣a∣=∣-a∣
 
大家看，今天我们解决了一个重要的问题。推理2、3、4，是0的一个重要的性质。它是实数具有对称数。（1也非常重要。它使非0实数有倒数。这样，我们再次发现0是非常特殊的一个数。）所以，有很多人认为0就是什么也没有，这是非常错误的。今后我再讨论0（已经1，2，）的特殊性质。这个a+0=a 和aX1=a,还是非常重要的解题的手段。这里我们也以后再谈吧。

贴主:立于2024_02_04 9:10:46编辑