我们是谁？我们能做什么？——通过用数学思考人生之一例

 

微积分是人类最重要的数学方法。可以说没有微积分就没有现代科技。而微积分也非常有意思。它的发明是解决一个历时2000年的问题，但并不是通过某种技巧，而更多的是通过思想的力量。从此之后，数学进入了近现代的阶段。像我现在刻苦攻读的初等数学就是充满了令人烦恼的奇技淫巧，高等数学则更多的是通过强大的思想的力量。

 

那么，现在我们通过一个简单的求导数的例子，研究一下现在与历史的关系。这也关系到我们是谁？我们能做什么？我们做的是什么？

 

首先，微积分是研究运动变化而非静止的。比如，速度、距离和时间的关系。对于不匀速的复杂运动，过去的方法是无法研究这类问题的。当然，这样的问题还可以涉及到复杂函数曲线的变化和曲线下面积的计算。在2000多年前，聪明的阿基米德就已经想出了引入无限小量的变化不断逼近的方法。这看起来挺像微积分的。今天很多人也依然简单的认为微分就取极小时间内的位移与极小时间相除得到一个固定的比率。

 


 

但实际上这并不是准确。因为这样的看法本质上仍然是静态的，而微积分的关键是要动态的。

 

那么微积分是如何研究动态的呢？这里就引入了函数的概念。在阿基米德的年代，没有函数的观念，所以，尽管阿基米德极其聪明，但他是不可能找到解决类似的问题的有效方法的。用函数的观念来看待位置和时间的关系就是，时间就是距离在某种规律（运算法则）作用下的一个函数，即s = s( t )。这样，微小时间变量引起的距离的微小改变就是微小增加的时间加上过去的时间在规律作用下所引起的距离变化，再减去过去的时间在规律作用下引起的距离的改变。即

 


 

但是，这和我们在日常生活中的思考，今天的收入就是△s，或者1月26日的收入等于1月前25天的收入加26日的收入，减去前25天的收入：

 


 

有什么不同？对于简单的线性关系可以这样处理，但是对于复杂事物这样凭感觉思考就不能认清其本质了。我们举例来演示一下：

 

对于 f(x) = x2：

 


 

当我们把函数展开就发现了秘密。如果我们把x视作历史，把△x视作现在或者我，那么这个函数就是：

 


 

现在是什么？我是谁？我做了什么？我又能做什么？

 

通过这个函数我们才意识到，现在并不是过去与现在的总和，我所做的也不是简单的对过去的添加，这里面有一个φ（x，Δx）。这是在次一级函数作用下x和Δx相互作用的结果。也就是，在历史规律下的次一级规律决定的过去和现在的纠结量。这也可以说是历史的惯性，或者说，是一种我们无法摆脱的被决定的量。而这个量通常要比我们的单纯的创造量要大得多。

 

立
2024/01/20