作者：芦笛 在 驴鸣镇旧贴 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
标题: 再看“大洋古”的聪明  时间: 13 12 2003 08:09

再看“大洋古”的聪明
芦笛
最近友人来信，提醒了我古希腊哲学家和数学家芝诺。和著名的大哲学家苏格拉底、柏拉图、亚里士多德等人比起来，他实在是个小萝卜头。然而就是这样的二流角色，咱们的老祖宗中似乎也找不出来。至少，我还没见过有谁提出过他的著名悖论，难倒了两千多年的天才们。
此文根据《网上哲学百科全书》中有关芝诺的部份写出，着重介绍他的有名悖论。
一、芝诺的悖论
芝诺于公元前４８８年生于意大利，是著名哲学家巴门尼德 （Parmenides）的弟子。巴门尼德学派主张客观存在是单一的、静止的、不变的，人们感知到的多个事物以及它的们变化与运动，其实不过是一种主观错觉。
芝诺是天才数学家，为了驳斥老师的论敌，他使用数学手段来证明主观感受到的“多个”（multiplicity）和“运动”的观念在逻辑上自相矛盾。
芝诺的基本思路是：空间和时间的基本概念，都可以抽象为数学上的“线”以及“点”的概念。如所周知，几何学的“线段”就是“多个点的集合”。从此出发，芝诺提出了两组著名悖论。第一组悖论包括两个论点，旨在证明所谓“多个”的概念并不成立：
１、一条线段可以被二等分无穷多次，永远也不会被分割完毕。
２、如果认为一条线段有多个点组成，必然导致自相矛盾的结论。因为线段的长度有限，所以含有的点的数目必然有限。但因线段同时又是可以无限分割的，因此，它必然含有无穷多的点。因此，假设一条线段由多个点组成是自相矛盾的。
第二组悖论旨在证明运动的不可能。共有四条，第四条需要画图讲解，十分麻烦，在此略去，有兴趣者可以去看英文原文（见文末联结）。
１、一个物体从空间的一点运动到另一点，其实也就是从线段的一端到达另一端，那就意味着该物体必须通过空间中的无穷多的点，而在有限的时间内，物体不可能通过空间中无穷多的点。
２、飞毛腿（Achilles，希腊神话英雄，为冥神之子）和乌龟赛跑，却永远无法赶上乌龟。假定他的速度是乌龟的１００倍。乌龟先爬出一百米，当他跑到１００米时，乌龟又往前爬了一米。当他跑完一米时，乌龟又往前爬了一厘米，当他跑完一厘米时，乌龟又往前爬了１／１００厘米……。就这样，尽管二者距离越来越短，却是无限趋近于零而不等于零的无穷小量。Therefore，飞毛腿永远赶不上乌龟。
３、飞箭不动。一枝射出的箭，在任何一个给定时刻，总是占据了一个和它等长的空间，因此在该时刻是固定不动的，所以，它在所有的时刻都是静止的。无穷多的静止位置的集合不可能是运动。
二、如何理解芝诺悖论
芝诺悖论貌似战国时代公孙龙等人“白马非马”、“坚白石”之类的诡辩，但本质完全不同，不但有严格的数学论证（咱们的老祖宗连世上有论证这档子事都不知道，从来是“论而不证），而且指出了逻辑思考的“天尽头”，也就是人类理性思维的固有局限。公元前５世纪的古人就有这种洞察力，当真是让人咋舌。
这些悖论的实质精神是：有限的整体，不可能由无限数量的部份组成，而这正是假定“整体由部份组成”必然面临的逻辑困境。如果承认整体由部份组成，则它只可能有两种组成方式：或者由不可分的单元组成，或者无限可分。如果是前者，则那单元本身必然具有一定数量，倘如此，则我们立刻面对着明显的逻辑矛盾：世上哪有什么数量是不可分的？但如果整体无限可分，则我们又面临另一矛盾：无限数量的成份加起来，竟然会等于一个有限的总量！
这问题其实具有普遍意义，不但适用于直线那种一维结构，同样适用于面、体等多维结构──您总不会认为一个香蕉是由无限多的部份组成的吧？但您若不承认这点，立刻就会创造出个“不可切割的香蕉单元”出来，那同样不可思议。
悖论本身还质疑了数学和物理上的最基本观念：“连续性”。那“飞箭不动”就是如此。这里换用子弹出膛更说明问题：假设击发为时间零点，您说在该时点，那子弹究竟是静止的，还是运动的？如果算不动，那从哪个时点算起来，它才是运动的？您永远也找不到一个可以分开“运动”和“静止”的时点来。“运动”和“静止”似乎是两回事，可在实际中却无法分开！
三、康德、休谟和黑格尔的解答
芝诺的悖论就像斯芬克思的千古之谜，对后世的天才们构成了严峻的智力挑战，好几个大哲学家都尝试解决这些难题。
康德认为，这些矛盾其实是人类时空观念中固有的，因此，无论时间还是空间其实都不是真实的。时间和空间并非事物的属性，而是我们感知事物方式的属性。它们不过是我们感知的形式而已，是我们的头脑把时间和空间强加给了客观世界，而不是客观世界把时间和空间强加给咱们的大脑。
从芝诺悖论中，康德进一步得出了对“无穷”的理解超出了人类的理性能力。只要我们试图去思考这一问题，无论是“无穷大”还是“无穷小”，都会遇上不可调和的逻辑矛盾。
另一大哲学家休谟则否认时间和空间的无限可分性，他认为两者都是由有限的不可分的单元组成的，犹如魔方由２７块木块组成一般。但上文已经说过：那单元本身必有一定数量，而这种本身既具有一定数量、却又是不可分割的单元是无从想像的。
黑格尔乃是马克思的鼻祖，他自然只会用辩证法给出答案来。他认为，芝诺的悖论其实反映了理性本质上的矛盾性。一切思想和推理，都含有内在的矛盾，矛盾的两方面首先是互相否定的，但在更高层次上却得到统一。
例如该悖论指出的“无限可分性的矛盾”，其实可在人们对“数量”的更高层次的认识中得到统一。人们对“数量”的认识含有两个因素，也就是“单一”和“多个”。“数量”指的就是由多个组成的一个，或一个中的多个。当我们考虑任何一定数量的事物时，例如一堆麦子，那首先指的是“一”，也就是整体。其次，那也是指“多个”。因为它是由许多部份组成的。作为“一”，它是连续的；作为“多个”，它们是间断的。对数量的真正认识，既不是脱离了“多个”的“一”，也不是脱离了“一”的“多个”，而是两者的“合成”（synthesis ），也就是“一”包括了的“多个”。
类似地，当我们考虑一条线段时，首先只会想到它是一个整体。此时，它就是连续的、不可分的单元。接下来我们就会把它当成“多个”来考虑，此时它就分解为多个组成部份，每个部份又可以看成是一个整体，因此是不可分的单元，但接下来我们又把该单元看成是多个，于是它又分解为多个组分……这过程可以无限重复下去，而正是这种认识论导致芝诺悖论产生。
但这种认识论是错误的，因为它使用了错误抽象，也就是先把“多个”看成是和“一”有本质区别的东西，接着又把“一”看成和“多个”有本质区别。如果坚持认定线段只是“一”，不是“多个”，必然导致“不可分单元”说；反过来，如果把线段只看成是“多个”，则必然导致“无穷可分说”。但真实情况是它既不只是“一”也不只是“多个”，而是“包含多个的一”，也就是说，它是一个“量”（quantity）。矛盾的两方面在某个意义上都是真实的，因为两者都是真实的因素之一，但也同时是假的，因为它们只各自代表了一部份真实。
四、现代解答
下面这段文字是我从原文中直译的，因为是票友，翻译得非常蹩脚，诸位凑合著看吧。
康德、休谟和黑格尔的解答对其后的思想家们具有很大的启发与刺激作用，但最终并未被接受。对应该怎样修正传统观念才能逃出芝诺发现的矛盾，数学家、物理学家和哲学家们现已达成共识。时间、空间和运动的概念，乃至直线、数、测量和集合的数学概念，都得作根本上的修正。
芝诺所使用的整数必须以现代的实数概念来代替。新的“一维连续”概念不再是芝诺想像中的那个，而是按其自然序列（递减）排列的实数的标准模型。这新的直线概念，便是如今科学家们用以考虑空间和时段的基础。直线不再如芝诺假设的那样，是点的集合，而是不可计量的无穷多的点单元的集合。只有这样才能理解为何由零维组成的点可以构成多维结构诸如一维的直线和二维的平面，否则便要遇到为芝诺指出的那个无限多的零加起来还是零的矛盾。此外，点在直线上排列得非常紧密，没有哪两个点可以紧挨在一起。在两个点之间总有第三个、第四个、第五个……点。点的无穷性也远比芝诺想像的高。实数的不可计量的无限性（因而是空间点和时点的不可数的无限性）也比整数的可计量的无限性高得多。因此，无限多的数加在一起可以得出有限的总数来。
在作出这些修正之后，数学家和科学家们现在可以说，芝诺的全部论点都建筑在错误假设上的。在现代数学和科学中，再也不可能出现芝诺那样的悖论。飞毛腿能赶上乌龟，飞箭确实在运动，也可以在有限的时间内通过空间中无限多的位置，这一切都没有矛盾。
解决芝诺悖论的功劳不能算在某一个人的头上。从牛顿、莱布尼兹建立微积分，直到２０世纪初叶Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Cantor, Einstein, and Lebesque的数学研究，都为此作出了实质贡献。从哲学上来说，唯一最伟大的贡献是，以靠创造逻辑上自洽的数学概念来推动定量科学的发展，取代了对人类自由想象力的依赖。
五、郁郁乎文哉，吾从康
前节介绍的当代科学家们的解答，老芦读来觉得不是那么信服，特别是“在现代数学和科学中，再也不可能出现芝诺那样的悖论”的革命乐观主义精神，以及“以靠创造逻辑上自洽的数学概念来推动定量科学的发展，取代了对人类自由想象力的依赖”的唯物主义精神，似乎有点过于武断。
芝诺悖论我是在高中时代看到的，此后断断续续地想了几十年。有的悖论倒容易发现破绽，例如那“龟兔赛跑”就是这样。从微积分上看那似乎确实不错，但仔细一想破绽就出来了：
“假定他的速度是乌龟的１００倍。乌龟先爬出一百米，当他跑到１００米时，乌龟又往前爬了一米。当他跑完一米时，乌龟又往前爬了一厘米，当他跑完一厘米时，乌龟又往前爬了１／１００厘米……。就这样，尽管二者距离越来越短，却是无限趋近于零而不等于零的无穷小量。Therefore，飞毛腿永远赶不上乌龟。”
这里隐含的前提，其实是把时间的度量缩得越来越小，飞毛腿先是花一定时间（假定是１０分钟吧）跑完１００米，此后却花了１／１０分钟去跑那１米，接着又花１／１０００分钟去跑那１厘米，接着又花１／１０００００分钟去跑那１／１００厘米……因此，他花的时间其实是个无穷收敛的变量，以１０分钟为极限值，其总和也就大致等于１０分钟，换言之，在飞毛腿快要追上乌龟时，时间却突然停滞下来了，这样当然永远追不上乌龟。这根本就不符合实际。这点我倒是在上高三时就想明白了。
难的还是那“无穷多的部份不可能组成有限的整体”和“飞箭不动”的悖论。我想来想去，觉得还是康德说的有道理。
所谓时间和空间，确实是人的主观感觉，根本说不上是什么物质世界的客观属性。例如“同时性”这个观念，完全就是我们的本能感觉。但爱因斯坦证明了，时间其实是相对的。所谓“同时性”只适用于同一系统。在不同运动系统中，时间的流逝速度根本就不一样。因此，我在国外过了一分钟，国内也同样过了一分钟，但在某个星球上看起来，那可能就是一小时。
最成问题的还是这“连续性”概念。例如上文说的那香蕉吧，表面是连续的，其实根本就不连续。不但分子之间有空间，分子之内也有空间，原子也是这样。因此，休谟说的其实很有道理：香蕉就是由数量有限的基本单元组成的。不但组成香蕉的分子量有限，原子量有限，就连基本粒子数量也肯定有限。最后我们可能碰到一个具有量级、但再也无法分割的粒子。这完全是可能的，虽然从数学上看来难以思议。
我想，这就是芝诺悖论的哲学意义：他是历史上指出理性的局限的第一人。所有的问题，其实都是用数学方式来思考宇宙引出来的。但数学不是自然科学，只不过是人类内在的理性思维能力的自由发挥而已。
凡是学过中学数学的同志都该知道，数学模型其实根本不存在于自然界中。例如几何的基本概念“点、线、面”都是所谓“理想模型”，“点”没有长度，“线”没有宽度，“面”没有厚度。如此模型，根本不存在于自然界之中，完全是数学家们自由想像出来的brain-child。但要进行数学研究，就非得使用这些纯粹的brain-child不可。点一旦有了长度，线一旦有了宽度，面一旦有了体积，则立刻就变成了具体的点、线、面，再不是抽象概念，再不能代表全世界的点、线、面了。
从这个意义上看，数学思维的过程就是一个抽象过程，而这抽象的结果，必然是偏离客观真实，造出一堆客观世界没有的模型来，当人们反过来去用这些失真的模型去处理客观事物时，必然就要遇到芝诺悖论那样的困境，出现了“没有长度的‘点’却可以组成具有长度的‘线’”的悖论。这困境是人类的思维内在的缺陷，在我看来根本就无法解决。
康德有名言曰：“理性为自然立法”，说的就是这个道理。虚数的“发现”最能说明这一点。它的“发现”其实不过反映了人类要把某种运算进行到底的骡子脾气而已。在物理学中，它完全只是一种借用来的方便工具。
当然，面临困境，数学家和科学家们作了一代又一代的努力。例如上节译文就强调了“实数”，但我看那并不能解决什么问题，反倒制造出新的问题来。
所谓“实数”，大家都知道那就是“有理数”和“无理数”的集合。但什么是无理数，似乎根本就没个正面定义，只有“排除定义”，也就是“凡是不可用分数表达的数就是无理数”，后来却又成了“数轴上凡是不是有理数的点都是无理数”，两者加在一起，就覆盖了整个数轴，可谓“算无遗策”。问题是，怎么怎么确定和怎么计算无理数，似乎就没有个统一规律可循，与其说它的存在是表现了人类智力成就，莫如说反映了人类智力的局限。
再如“飞箭不动”的问题，那其实是对“瞬时速度”概念的质疑：在某个特定时点（也就是空间位点）上，飞箭不可能有什么“速度”，因为既然是速度，必须通过一段距离才谈得上。但上文已说过，“点”是没有长度的，哪还能谈什么距离和速度？
牛顿的解决办法，是把“点”的概念偷换为一个“无穷小”的长度，这无穷小长度再除以飞箭的飞越时间，便得出一个变量，其极限值便是该点的即时速度。这办法确实聪明之极，但在我看来，这并不是解决悖论的根本办法。
上举那个子弹出膛的例子就能说明这一点。即使用微积分，也无法从时间上准确区分物体从静止变为运动的“转折点”，就像在数轴上找不到一个绝对值最小的数一样。于是，我们便连区分“静止”和“运动”、“零”和“大于零”的界限都找不到。静止和运动这两种截然不同的状态，竟然会是一个连续的平滑的数学过程，而“无”和“有”之间也没有什么分界线。这实在是无法自圆其说。
最能说明问题的，还是高等数学中的“开区间”概念。例如1＜X＜3，这变量X代表的线段就是所谓“开区间”，它的特点是既有限又无限。说它有限，是其长度小于2 ；说它无限，是因为这线段根本没有终点，你永远也找不出它的最大值和最小值来。有趣的是，这个高等数学中的最基本概念，本身就是个悖论，然而就在这悖论上建立了高等数学的大厦！
据说芝诺的学生曾问他：老师，你知识如此渊博，怎么还老觉得自己很无知呢？芝诺在沙盘上画了一大一小两个圆圈，然后跟学生说，小圆内就是你们的知识，大圆内是我的知识，圆外的空间就是未知世界。因为我的圆比你们的大，周长就比你们大，因此接触到的未知就更多。
在我看来，这就是人类的科学史和思想史。比起两千年前的古人来，咱们的圆圈大到不可比拟，但接触到的未知因而更多。而且，不管这圆圈变得多大，它将永远是一个冲不出去的围城。
原文：
http://www.utm.edu/research/iep/z/zenoelea.htm

贴主:light21于2021_06_21 6:20:46编辑