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重帖证明

送交者: 张旺教授[☆★★声望品衔12★★☆] 于 2022-04-12 21:49 已读 111 次  

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回答: 请张旺教授再帮着用数学向大家证明解释一下好吗？为什么如果用简单多数来投票决议 由 爱的时光机 于 2022-04-12 20:25

假设每人正确率为r，r介于0，1之间。
令X_i为第i个人的投票随机变量，X_i=1:赞成；X_i=0:反对。则X_i服从伯努利分布，其期望和标准差为
mu=E(X_i)=r; sigma=sqrt(r(1-r)).
由于X_1,X_2,...是i.i.d., 可用中心极限定理。
设Y_n=(X_1+X_2+...+X_n)/n. 则当n趋向无穷大时，随机变量
  Z_n=sqrt(x)*（Y_n-r)/sqrt(r(1-r))
趋向标准正态分布N(0,1). 
现考虑n=2k+1(奇数情形，偶数情形类似）。
n=2k+1个人投票，简单多数通过的概率是
P(X_1+X_2+...+X_n >= k+1)
=P(Z_n >= sqrt(2k+1)*((k+1)/(2k+1)-r)/sqrt(r(1-r))).   (*)
证明的关键来了：
1). 若成功率r大于1/2,
sqrt(2k+1)*((k+1)/(2k+1)-r)/sqrt(r(1-r)) 趋向 负无穷。
由(*)以及Z_n趋向标准正态分布N(0,1),有： P(X_1+X_2+...+X_n >= k+1)==P(Z_n >= sqrt(2k+1)*((k+1)/(2k+1)-r)/sqrt(r(1-r))) 趋向 P(Z>=-infinity)=1.
2). 若成功率r小于1/2,
sqrt(2k+1)*((k+1)/(2k+1)-r)/sqrt(r(1-r)) 趋向 正无穷。
由(*)以及Z_n趋向标准正态分布N(0,1),有： P(X_1+X_2+...+X_n >= k+1)=P(Z_n >= sqrt(2k+1)*((k+1)/(2k+1)-r)/sqrt(r(1-r))) 趋向 P(Z>=infinity)=0.
3). 若成功率r=1/2,
sqrt(2k+1)*((k+1)/(2k+1)-r)/sqrt(r(1-r))趋向 0.
由(*)以及Z_n趋向标准正态分布N(0,1),有： P(X_1+X_2+...+X_n >= k+1)=P(Z_n >= sqrt(2k+1)*((k+1)/(2k+1)-r)/sqrt(r(1-r))) 趋向 P(Z>=0)=1/2.
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感谢张旺教授的严谨推论证明！??? (无内容) - 爱的时光机 (0 bytes) 04/12/22
不客气。很有趣的问题。 (无内容) - 张旺教授 (0 bytes) 04/12/22
(^-^) 爱的时光机 给 张旺教授 端上一盘碳烤全羊！ - 爱的时光机 (129 bytes) 04/12/22
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