[返回留园网事首页]·[所有跟帖]·[ 回复本帖 ] ·[热门原创] ·[繁體閱讀]·[坛主管理]

重帖证明

送交者: 张旺教授[☆★★声望品衔12★★☆] 于 2022-04-12 21:49 已读 121 次  

张旺教授的个人频道

 +关注

回答: 请张旺教授再帮着用数学向大家证明解释一下好吗？为什么如果用简单多数来投票决议 由 爱的时光机 于 2022-04-12 20:25

假设每人正确率为r，r介于0，1之间。
令X_i为第i个人的投票随机变量，X_i=1:赞成；X_i=0:反对。则X_i服从伯努利分布，其期望和标准差为
mu=E(X_i)=r; sigma=sqrt(r(1-r)).
由于X_1,X_2,...是i.i.d., 可用中心极限定理。
设Y_n=(X_1+X_2+...+X_n)/n. 则当n趋向无穷大时，随机变量
  Z_n=sqrt(x)*（Y_n-r)/sqrt(r(1-r))
趋向标准正态分布N(0,1). 
现考虑n=2k+1(奇数情形，偶数情形类似）。
n=2k+1个人投票，简单多数通过的概率是
P(X_1+X_2+...+X_n >= k+1)
=P(Z_n >= sqrt(2k+1)*((k+1)/(2k+1)-r)/sqrt(r(1-r))).   (*)
证明的关键来了：
1). 若成功率r大于1/2,
sqrt(2k+1)*((k+1)/(2k+1)-r)/sqrt(r(1-r)) 趋向 负无穷。
由(*)以及Z_n趋向标准正态分布N(0,1),有： P(X_1+X_2+...+X_n >= k+1)==P(Z_n >= sqrt(2k+1)*((k+1)/(2k+1)-r)/sqrt(r(1-r))) 趋向 P(Z>=-infinity)=1.
2). 若成功率r小于1/2,
sqrt(2k+1)*((k+1)/(2k+1)-r)/sqrt(r(1-r)) 趋向 正无穷。
由(*)以及Z_n趋向标准正态分布N(0,1),有： P(X_1+X_2+...+X_n >= k+1)=P(Z_n >= sqrt(2k+1)*((k+1)/(2k+1)-r)/sqrt(r(1-r))) 趋向 P(Z>=infinity)=0.
3). 若成功率r=1/2,
sqrt(2k+1)*((k+1)/(2k+1)-r)/sqrt(r(1-r))趋向 0.
由(*)以及Z_n趋向标准正态分布N(0,1),有： P(X_1+X_2+...+X_n >= k+1)=P(Z_n >= sqrt(2k+1)*((k+1)/(2k+1)-r)/sqrt(r(1-r))) 趋向 P(Z>=0)=1/2.
喜欢张旺教授朋友的这个贴子的话， 请点这里投票，“赞”助支持！
[举报反馈]·[ID前期主贴发言]·[所有跟帖]·[-->>回复本帖]·[手机扫描浏览分享]·[返回首页]

内容来自网友分享，若违规或者侵犯您的权益，请联系我们

所有跟帖:   ( 主贴楼主有权删除不文明回复，拉黑不受欢迎的用户 )

感谢张旺教授的严谨推论证明！??? (无内容) - 爱的时光机 (0 bytes) 04/12/22
不客气。很有趣的问题。 (无内容) - 张旺教授 (0 bytes) 04/12/22
(^-^) 爱的时光机 给 张旺教授 端上一盘碳烤全羊！ - 爱的时光机 (129 bytes) 04/12/22
(^-^) 爱的时光机 给 张旺教授 赠送一副神算子！ - 爱的时光机 (88 bytes) 04/12/22
(^-^) 张旺教授 给 爱的时光机 端来一杯咖啡！ - 张旺教授 (88 bytes) 04/12/22
Typo: - 张旺教授 (87 bytes) 04/12/22

用户名: 密码: [--注册ID--]

标　题:

粗体 斜体 下划线 居中 插入图片插入图片 插入Flash插入Flash动画


     图片上传  Youtube代码器  预览辅助

打开微信，扫一扫[Scan QR Code]
进入内容页点击屏幕右上分享按钮

楼主前期社区热帖：

>>>>查看更多楼主社区动态...



[ 留园条例 ] [ 广告服务 ] [ 联系我们 ] [ 个人帐户 ] [ 创建您的定制新论坛频道 ] [ Contact us ]