浅谈量子行走
2020-06-03薛鹏科学
撰文丨薛鹏 北京计算科学研究中心
https://vitomag.com/zhs/science/ohgah2.html

量子行走是经典随机行走在量子世界中的推广。而经典随机行走是指行走者在特定路线或区域无规律地运动，例如花粉的布朗运动。自1905年爱因斯坦根据扩散方程揭示布朗运动的原理以来，经典随机行走不仅对物理学产生了深远的影响，还广泛地应用于化学、地理、生物及经济学等学科。
对比经典情形，量子叠加和量子干涉等特性导致量子行走的扩散速度与经典随机行走相比有平方式的增长(quadratic enhancement of spreading)，体现出优于线性的经典扩散——以更快的速度来扩散所携带的量子信息。因此最初科学家关注的是利用量子行走开发新的量子算法。对一些经典上的难问题，例如黑盒子问题，基于量子行走的算法可以提供指数加速,。而对于另外一些特定问题，比如元素分离问题，三角搜索问题， NSND树判断问题等，相比于经典算法，量子行走算法也可以提供多项式加速。随着这一领域的不断发展，量子行走的新机理和新应用成为了人们普遍关注的焦点。
与经典随机行走一样，量子行走也可以分为连续时间量子行走[1]和离散时间量子行走[2]。连续时间量子行走的思路来源于经典的马尔科夫过程，微观粒子在Hilbert空间的任意演化过程都可以理解为连续时间量子行走，可见量子行走的普适性。相比于连续时间量子行走，离散时间量子行走中存在两个自由度——行走者和硬币。行走者抛掷硬币，决定行走的方向。在经典行走过程中，行走者每次只能朝一个方向走，例如硬币抛掷的结果是字向上行走者就向左走一步，花向上就向右走一步。
而在量子化的行走过程中，由于硬币是量子化的粒子，遵循量子力学的叠加性，因此硬币抛掷的结果可以是字和花的叠加态，因而量子行走者可以以一定的机率同时向两个方向走。在量子行走中，抛掷硬币可由对量子硬币的么正演化实现，量子行走可由量子硬币和行走者之间的相互作用实现。连续时间和离散时间量子行走看似不同，实则都是微观粒子的么正演化过程，而行走者扩散速度与经典相比均呈现平方式的增长，并且后经证明两者是可以通过空间维度扩展实现相互之间的转换。
连续时间量子行走多用于开发量子算法[3]，例如搜寻一个图的中心点，将图对应的邻接矩阵作为Hamiltonian，其对应的演化算符就是量子行走的过程，初始状态设为图的所有顶点的等权叠加，量子行走的过程就是反复迭代放大要找到的那个态，即图的中心。而在2009年[4]和2013年[5]Andrew Childs等证明了连续时间量子行走可以实现通用的量子计算，这是量子行走的研究历程中一个里程碑式的进展。
与此同时，离散时间量子行走也显示出其优越性和广泛的应用。因为可以通过空间维度扩展实现连续时间到离散时间量子行走的转变，我们团队在2017年[6]和2020年[7]利用离散时间量子行走实验演示了quantum centrality算法和quantum PageRank算法。除此之外，离散时间量子行走中有较多的可控的自由度，包括硬币和行走者。行走者可将硬币的态携带至合适的位置，而硬币旋转的过程即可实现对特定位置的硬币态的么正演化，进而可以验证量子物理的基本问题，可为量子通信、量子测量、量子模拟等量子信息处理的实现提供新的视角。
量子行走的理论模型早在上世纪90年代出就建立，随着对其物理机制和应用的广泛研究，人们开始尝试用各种物理体系在实验上演示和实现量子行走。我们团队则选用光子的偏振作为量子硬币，光子的路径自由度作为行走者来实现量子行走。光子是很好的飞行量子比特，尤其常常用于量子通信。
随着团队在量子行走在理论和实验方面的深入研究，我们开始思考量子行走能否应用于量子通信。我们认为这主要取决于量子行走中是否存在信息的传播扩散与恢复。2015年我们逐渐认识到对量子行走中多种不同自由度的位置、位相、演化时间等条件逐一加以控制操作，发现通过依赖于演化时间的硬币抛掷操作，只要选择合适的抛掷参数，携带信息的量子行走者和量子硬币的态可以在任意的偶数演化时间后恢复至初始状态，而在此之前态依然遵从量子行走的扩散规律，从而证实了量子行走中存在信息的扩散与恢复。
继而我们利用参量下转换产生的标记单光子的空间模式作为量子行走者，光子的偏振作为硬币，实现了在由光束偏移器构建的部分级联的干涉仪中十六次演化，连续两次观测到了周期为八步的量子行走中信息完全恢复的现象。实验中涉及到的利用三明治式波片组实现依赖于演化时间的硬币抛掷操作及具有极高干涉可见度的十五级的部分级联干涉仪，均为该实验的创新点和技术难点，而十六步的演化也打破了当时澳大利亚团队创造的单光子量子行走的最长演化纪录。这一理论的提出及实验的验证[8]修正了人们以前对量子行走的认识，并为量子行走在量子信息中的应用提供了新的方向。
我们已经证实量子行走可以用于量子计算和量子通信，而量子信息科学的另一核心目标是量子测量，量子行走能否应用于量子测量呢？量子测量既是研究量子信息必要的技术手段，也是一种利用量子特性实现超越经典极限的高精密测量的方法。最为普适的量子测量是广义量子测量即正定算符测量(Positive Operator-Valued Measure，简写为POVM)，不但能识别正交的态，而且可借由辅助量子比特对非正交量子态进行无差错的识别，因此在量子信息中有着重要的地位。实现正定算符测量最重要的就是对测量算符的构造。正定算符测量集合中的测量算符的元素个数增加要求辅助量子比特的希尔伯特空间维度随之增加，这就给实验实现带来了相当的难度。
我们基于对量子行走这一课题的深入研究，发现其中行走者和硬币的关联提供一个理想的待测和辅助体系。将待测信息加载在硬币的初始态，经过依赖于位置的量子行走过程，携带不同初始硬币态的行走者会走到不同的位置，通过对行走者的位置进行的正交测量，即完成对待测的硬币初始态的正定算符测量。与以往不同的是，而随着正定算符测量集合中的元素数目的增加，只需要增加量子行走的演化时间而不需要扩展辅助比特的维度，从而大大降低了实验难度，增加了正定算符测量的可实现性及可扩展性。基于这一理论，我们用线性光学体系首次实验上实现了基于量子行走的正定算符测量。通过依赖光子空间模式的量子行走演化，构建了正定算符测量的测量算符，成功地对非正交态进行了最优化的无差错态识别，同时实验构建了完全对称信息的正定算符测量（Symmetric Informationally Complete Positive Operator-Valued Measure）。
实验中通过特定角度的波片实现依赖空间模式的单光子偏振态的操作，从而影响行走者+硬币的体系即光子演化，这个是此项实验中的主要难点。我们可以做到总的可见度高达99.2%的多阶级联的马赫泽德干涉仪，从而通过依赖位置的量子行走实验构建任意rank1/2的单比特的正定算符测量[9]。利用量子行走实现量子测量这一理论的提出及实验的实现为量子行走在量子信息中的应用提供了新的方向，与量子算法和通用的量子计算并列为量子行走的三大应用。之后我们利用量子行走实现的非负性测量和钝化测量验证了量子力学和互文性[10,11,12]，及宏观实在性[13,14,15]之间的违背。
量子行走还可以用于量子模拟，所谓量子模拟通常是指利用一个我们比较熟悉的物理系统，让其在与欲模拟的系统（往往是相互作用复杂，实验难于实现的系统）相同的规律下演化，通过对演化结果的观察来获得我们想要的信息。尤其是光量子行走，因为光子的静止质量为零，无法构建真实的时间演化，而量子行走则提供了一个离散的真实的演化过程，因此更加有利于实现量子模拟。而以往人们对量子行走的研究集中在量子体系的么正演化问题，这是因为在传统的量子力学中，描述一个量子体系的哈密顿量必须具有厄密性，对应的演化是么正过程。
但实际体系往往是开放的，对其进行有效地描述，必须用非厄密性的哈密顿量，对应的演化是非么正过程。而这种演化的实验面临着本征能量不是实数的困难。研究发现，非厄密但满足宇称-时间对称性（Parity-Time-Symmetry）的哈密顿量具有实的本征能量，从而为解决前述困难提供了可能。在此基础上，我们设计了这样的开放系统，满足宇称-时间对称性；并首次在实验上实现了非厄密的量子行走，研究该行走过程的新机理和新物性。
2017年我们提出了一个适用于开放系统且满足宇称-时间对称性的无源量子行走模型，该模型可以描述现实的量子体系[16]。而且，不同于以往实验中所采取的经典光场，我们使用单光子量子光源，在线性光学体系中首次实现了满足宇称-时间对称的“真正”的量子系统的动力学演化过程，观测到新型的一维拓扑保护边界态。进一步把宇称-时间对称量子行走的定义和框架拓展到更为普适的非厄密量子行走，研究其拓扑性质，实现了对拓扑不变量的直接测量。拓扑不变量可由几何位相或卷绕数来描述，通过计算得到。但是，直接测出拓扑不变量是一个极具挑战性的实验技术问题。通过测量量子行走中光子的平均位移，我们首次实现了拓扑不变量的直接测量[17]。
2019年初，我们开始应用量子行走来研究非平衡系统的动力学量子相变，这是一种量子多体系统的重要物性，是近年来量子计算和量子模拟领域的一个重要的研究前沿。不同于传统意义上温度驱动的相变，动力学量子相变是一种非平衡相变，是时间驱动的量子非解析行为，对于理解量子多体系统的动力学演化过程及其物理特性至关重要，这方面的实验装置和原理可用于开发及制备量子非互易器件。运用单光子量子行走，我们模拟了拓扑系统的动力学淬火过程，系统地研究了淬火过程中的动力学量子相变，直接测量得到动力学拓扑序参量[18,19]。我们再次利用量子行走的动力学淬火过程，设计了通过位置空间测量来重构动量空间密度矩阵的实验方案，观测到动量-时间域衍生的斯格明子结构，展示宇称-时间对称性稳定衍生斯格明子结构的关键作用[20]。
2020年，我们开展了在开放系统的光量子行走中非厄密趋肤效应和非厄密体-边对应关系(bulk-boundary correspondence)的研究。趋肤效应原本是指，当导体中有交流电或交变电磁场时电流集中在导体外表层的现象。这里，我们借用这个名词来描述非厄密体系中拓扑边界态和体态（bulk state）都会局域在拓扑体系边界上的现象。这种效应的出现意味着传统厄密体系中拓扑物相的体-边对应关系在非厄密体系中不再成立；因此如何描述和确定非厄密拓扑体系中的拓扑物相则需要新的体-边对应关系和新的拓扑不变量，这是一个重要的、亟待解决的科学问题。
为了解决这一问题, 我们利用单光子量子行走的物理平台，设计了直接测量光子演化的波函数的方案。利用这项创新性实验技术，在理论合作者的协助下，我们从理论上给出了能够正确表征非厄密体系拓扑边界态的拓扑不变量和体-边对应关系，并在实验上成功地开展动力学的量子模拟，首次观测到非厄密趋肤效应及鲁棒的拓扑边界态, 确立并验证了非厄密体系的体-边对应关系[21]。
总之，量子行走以其优越的量子特性及多个可独立调控的自由度，提供了一种可程序化的简单模式，实现了量子信息处理过程中的诸多关键步骤，而量子行走的新机理和新应用依然吸引著更多的科研工作者的关注。
参考文献：
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[19]. X. Qiu, T.-S. Deng, Y. Hu, P. Xue and W. Yi, Fixed points and emergent topological phenomena in a parity-time-symmetric quantum quench, iScience, 20, 392-401 (2019).
[20]. K. K. Wang, X. Qiu, L. Xiao, X. Zhan, Z. H. Bian, B. C. Sanders, W. Yi and P. Xue, Observation of emergent momentum-time skyrmions in parity-time-symmetric non-unitary quench dynamics, Nat. Commun., 10, 2293 (2019).
[21]. L. Xiao, T. S. Deng, K. K. Wang, G. Y. Zhu, Z. Wang, W. Yi and P. Xue, Observation of non-Hermitian bulk-boundary correspondence in quantum dynamics, Nat. Phys., (https://doi.org/10.1038/s41567-020-0836-6).
写在最后——
了解我的朋友可能知道，我是做量子光学的理论出身，在2013年才以37岁“高龄”尝试进入量子信息和量子光学的实验研究的领域。当时的想法特别简单，现在看起来却有点孤勇，傻小子睡光炕的意思，除了对于实验物理的好奇和进一步探祕的兴趣这一最主要的驱动之外，就是觉得做纯理论和proposal我已经经历过了，对于自己的从事理论研究的能力有了判断，想试试自己能不能适应实验研究，说白了还是想证明自己。
有人觉得我在奔四的年纪，从零开始，带着两个学生，从借仪器和晶体开始，一手一脚地尝试做实验，很有勇气。的确，作为一个70后，我们还是赶上了那个“车马很慢”的时代的尾巴，又免于食不果腹的狼狈，才能够遵从内心，安于平淡，有勇气去试错。很幸运地是最终还是搭起了小的实验摊子，并且有了一些结果。各中种种，不足人道。唯一值得提及就是今天或未来的成果，除了各级领导各界同仁的关心支持之外，我所做的就是坚持。成功之后的坚持是不难的，属于正向激励，但是不停地试错及失败中的坚持，是艰难的，有的时候甚至是痛苦的，这却是人生常态。只要心向光明，苦中也有回甘。
有时我也会同情现在的90后、00后的从事基础科研工作的学生和青年学者，出生在物质文明和精神文明都丰富的年代，成功的概念本该更加多元化，但是在政协会议上院士关于“板凳甘做十年冷”的号召与媒体充斥着80后校长，90后教授，35岁上市公司CEO，25岁天才少年连发顶刊等出名趁早这两种观点之间徘徊，每人都有着自己的思考和挣扎。人生仿佛被设定好了，每一阶段的目标都被安排的明明白白，一步错过步步错过，试错的成本越来越高，坚持的意义被一句“选择比努力更重要”轻松打败…
写这几句话的意图是希望能够鼓励到年轻的学生，人生无论到了任何阶段都依然有那么多的可能性。世界上不仅仅有年少有为，也有冯唐李广，更多的普罗大众为了理想和兴趣的坚持，而这些都是合理而且美好的。
薛鹏，女，北京计算科学研究中心教授，博导。1999年以优异的成绩毕业于中国科学技术大学物理系，获得学士学位，并免试进入本校中科院量子信息重点实验室攻读博士学位，师从郭光灿院士，2004年7月获得博士学位。之后赴奥地利因斯布鲁克大学物理系、奥地利科学院量子光学和量子信息研究所，以及加拿大卡尔加里大学物理系作为博士后从事量子信息的物理实现以及量子光学的基础研究工作，致力于利用量子行走实现普适的量子信息处理平台的研究工作。
2009年回国加入东南大学物理学院，2018年调入北京计算科学研究中心。在国际顶级学术期刊包括：Nature Physics, Physical Review Letters，Nature Communications等以第一/通信作者发表学术论文百余篇，并且得到国内外本领域重要专家学者的广泛关注，文章被引用两千余次，单篇引用最高达百余次。

贴主:院子于2021_11_18 20:41:10编辑