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为什么不能通过“把裤腰旋转180度”调整裤子前后反

送交者: 太湖清奇[☆★大亨玫瑰园★☆] 于 2022-09-06 19:18 已读 2472 次 3赞  

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想看原始答案的可以猛戳这里!
https://www.zhihu.com/question/551970156



为什么裤子前后穿反了不能通过“把裤腰旋转180度”的方式调整(而裙子可以)?

我将问题修改一下:除脱裤子之外,不存在一种连续移动的方式,使得左右裤腿互换位置。

显然题主的问题是以上命题的推论。

由于我们能做的只是将裤管曲面(见上图)的边界三个连通分支(分别同胚于圆)贴着两腿、腰臀移动(想象人的两腿、腰无限长),例如卷裤腿边,边卷边移动,我们可以将其视为同伦变换,这说明这三个圆只能在裤管曲面上运动。所以问题的拓扑学表述是:左右两个裤腿边缘是否同伦,即其中一个能否可以在裤管模型上连续形变到另一。

但是我们知道,两个裤腿边缘岂止不同伦,它们甚至都不同调!(只有算上腰口,它们三个依定向相加,才是零调的)。

所以这种方式一定不存在。

补充一下拓扑细节:

在3维空间中挖去同顶点的三条射线,同伦于裤管曲面:

裤管曲面R3−(0,0,0)−⨆i=13{xiei|xi>0}≃S2−⊔i=13D2=裤管曲面

三个圆分别套在三条射线 {xiei|xi>0} 上,在上述空间内连续形变。


感谢评论区老哥 


@图腾


 补充。


注:同胚、同伦、同调三者关系:前者可以推出后者,后者推不出前者。这就是用同调证明的依据。关于同调,我之前写过一篇文章三川啦啦啦:定向角度看同调群(一)


看到题主又补充了裙子,这个拓扑结构就更简单了。


裙子一般而言同胚于平环(忽略裙子上可能会有的洞洞),而平环同伦于圆。把人的躯干抽象为一根两端无限延伸的柱子,圆-裙子就是在三维空间挖去这样的柱子内连续形变。


啪,沿着这根柱子的方向一压缩,这个空间同伦于平面挖去原点,后者又同伦于圆……


所以圆-裙子在同伦型为圆的空间中连续形变,实际上就是圆到圆自身的连续映射,由Hopf定理,这种映射可以由映射度 deg 完全分类:


deg∈Z={0,±1,±2,⋯}


也就是说,你把裙子爱转几圈转几圈,正着转反着转,转到原地起飞都可以。


最后回答一下题主的问题:当把裤腰旋转180度,会发生什么?


学过复变的人知道,当你绕含有两个奇点的区域一周积分,相当于你绕两个奇点各转一圈。也就是说,你只能两圈两圈地转。如果只转180度——半圈,那么相当于绕两个奇点各半圈。复变和上同调的关系密切,我就不展开了。


现在这个裤腰口相当于大圆,两个绕奇点的小圆(与大圆反向)相当于裤腿边。所以“把裤腰旋转180度”只会——裤子裂开。


贴主:太湖清奇于2022_09_06 19:20:21编辑
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