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欧洲的留学生活


1934年～1936年我在汉堡，1936年获理学博士学位；并曾在巴黎随Elie Cartan从事一年博士后研究，去汉堡的选择实属幸运之举。汉堡大学有一个很强的数学系，Blaschke、Artin以及Hecke是那里的教授，较资浅的成员包括E. Kähler、H. Petersson和H. Zassenhaus。 


那时Blaschke的数学兴趣正从网几何转向积分几何。1934年9月我刚见到他时，他给了我一大叠关于网几何的抽印本。我开始对网的秩的概念和具有最大的秩的网产生了兴趣。大家知道，Rn中一个余维是1的d网由处于一般位置的d个超曲面叶结构组成。



设x1,...,xn是Rn的坐标，叶状结构由方程
给定。形如 的方程被称为是Abel方程。线性无关的Abel方程的最大个数被称为是这个网的秩。如果d-网由Rn空间里的d类代数曲线的超平面定义，它就具有这样的Abel方程，它们是将Abel定理应用Abel微分获得的。因而这个d-网的秩至少是该曲线的亏格（genus）。



在一篇短文中我确定了Rn中所有余维为1的d-网的最大秩。根据 Castelnuovo的一个定理，这个整数等于n维射影空间Pn里不属于任意超平面Pn-1的d次代数曲线的最大亏格。



值得注意的事实是，并非所有具有最大秩的网都是由上述方式描述的具有最大亏格的代数曲线给出的；这里存在怪异的具有最大秩的网，这些网的叶并非都是超平面。这些Abel方程本质上是函数方程，因为在经典情形中，这些方程变成众所周知的超越函数的加法定理。


在平面上（n=2），曲线的5-网的最大秩为6，而且存在一个怪异网（Bol网），这个网的Abel方程含二重对数。1978年Griffiths和我研究了Rn中具有最大秩且余维为1的d-网问题，但我们没有获得最后结果。我认为确定这样的怪异网是一个非常有趣且很重要的问题。 


1934年～1935年间我的主要精力用于参加Kähler的讨论班。讨论班以Kähler刚出版不久的著名小册子《微分方程组理论导引》（Einführung in die Theorie Systeme von Differentialgleichangen）为基础。主要成果就是后来所称的Cartan-Kähler定理。


所有的人，包括Blaschke、Artin与Hecke，都出席了首次讨论会，每人还得到一本上述的小册子。但参加者减少得很快，我是坚持到底的极少数人之一。我把这一理论用于R2r中r维子流形的3-网。Blaschke和Kähler都认为这个结果与我先前关于最大秩的结果已足够写成一篇学位论文了。到1935年底我的学位论文已准备就绪。 
Blaschke及其学派主要关心积分几何，Blaschke开过积分几何的课程。这一主题最漂亮的结果是由L.A. Santalò发现的。一个结果是用正项的无穷和表示平面凸曲线的等周亏量，其中每个正项均具几何意义。Santalò的工作使他成为积分几何方面的世界级领袖。他原籍西班牙，后来移民到阿根廷。 
我的另一位学友是代数几何学家周炜良，他为了跟Hermann Weyl做研究从芝加哥来到哥廷根。但是哥廷根乃至整个德国政局的变化使这一愿望成为泡影，他又转往莱比锡随Van der Waerden工作。由于某种原因，他住在汉堡，有时来参加讨论班。



周炜良当时正在发展他的「配型」（zugeordnete Formen），即后来所称「周氏坐标」。周是一位有创见的数学家。他对代数几何作出了重要贡献，包括他的紧子簇定理和相交理论。周出身于中国一个高层官宦家族，它很早就认识到西化的必要，因此这个家族出了不少杰出人物。周习惯夜间工作。当他来访时我就得牺牲一些睡眠，但却学得一些数学。 





无论如何，只要可能，我就去听Artin的讲课。二年间他开过的课包括复变函数论、代数拓扑、相对论和丢番图逼近等。我还听过Hecke主要按他的书讲的代数数论课。我在汉堡的学术生涯是很理想的，但是政局不允许这种生活继续下去。 
1936年～1937年我可从事一年博士后研究。当我征求Blaschke的意见时，他建议我或继续留汉堡跟Artin研究数论，或去巴黎跟随Elie Cartan。这两个方案都有吸引力，我最后选择了后者。 
这一抉择非常理想。那年Cartan开了一门外微分系统的课程；讲义后来以书的形式出版了。那些后来成为Bourbaki的「年轻的」法国数学家开始活跃起来。他们组织了一个「Julia讨论班」，每二周聚一次，致力于对每年选定的一个专题进行研究。1936年～1937年的专题是「E. Cartan的工作」。 
Cartan是位极好的导师。他提出的「小」问题，有些成为我论文的主题。大概由于我对他所提问题作的解答，他允许我大约每二周去他家一次。见面后的第二天我通常会收到他的信，信中往往说：「你走后我又考虑了他的问题。......这问题似乎很有趣......」这一年过得有趣而令人难忘。 
我还听过Montel有关多复变的讲课，参加过Hadamard在法兰西学院举办的讨论班。在每次讨论班结束时Hadamard总会作总结，它通常比讨论班上的演讲本身更清楚更丰富。 
在获悉中日战争爆发的消息后，我怀着沉重的心情于1937年7月10日告别巴黎返回中国。