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也谈无限分割与芝诺悖论。。。。

送交者: 塞翁寻马[♂★★认真打酱油★★♂] 于 2021-06-21 1:52 已读 2053 次  

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接着版主国歌兄的话题,无限分割与芝诺悖论本质上其实等价。用后来贝克莱的表述就是,当线段被分割为无穷多相等长度的部分后,每一部分的长度都成为无穷小,如果这个无穷小的长度是0,那么其总和则等于0,而不是整体线段长度。如果每相等部分的长度不为0,那么无穷多个相等的不为0的结果则为无穷大,也不等于整体长度。所以,无穷小既不能等于0,又不能等于非0。

2000多年前亚里士多德就回答了这个问题,也就是干脆否认无穷大的存在。无穷大只是个过程,用现代的语言称之为“潜无穷”。线段虽然能被万世不竭无限制地一次次分割下去,但每次分割后(假设是二叉树分割)的线段总数则是有限的,而每个部分的长度也是有限非0的。它们的长度总合仍等于初始线段长度。

柯西他们的微积分严格化(以及后来发展的各种测度系统)正是靠只承认“潜无穷”,相当于否认“无穷的存在”,规避了贝克莱借芝诺悖论引发的第二次数学危机。现在大多数非纯数学专业的理工生们思维中的无穷大和无穷小概念也都是“潜无穷”,以至人们将“潜无穷”视为不容置疑,天经地义,甚至已经解答了(而不仅仅是规避了)之诺悖论,这与直觉主义数学的理念不谋而合。但是。。。。实无穷后来却死灰复燃了。。。。

回忆一下初中(或高中)平面几何入门是如何定义点和线的。这些定义出自欧几里得的《几何原本》:“点是没有大小”,“线段则是点的组合”,咣当!这正是“实无穷”的说法:有限量(整体线段长度)是无穷的0量之合。当然,因为亚里士多德的影响,以至于欧几里得的这个定义和“实无穷”的概念并没有被主流所接受,特别是柯西戴德金之后,人们似乎就忘了“实无穷”。

然而,19世纪末,欧几里得的“实无穷”,又被康托的“集合论”带回了现代数学。而希尔伯特发现,康托的这个特洛伊木马是自己的形式主义数学公理化体系不可或缺的基础。自从罗素的逻辑主义数学公理化之路被证明是矛盾重重叠床架屋之后,唯二的两个体系就是否认实无穷的直觉主义,和希尔伯特接受实无穷的形式主义(忽略了居中的布尔巴基)。然而,前者不但不接受实无穷,也坚决否定潜无穷中使用排中律和反证法。这几乎是否定了大量已有的数学结果和体系,按希尔伯特的话说就是要数学家们绑住双臂去参加拳击比赛。而接受“实无穷”和排中律的形式主义的希尔伯特的乐观理想(公理体系内证明一致,自洽,完备)也先后也在20年代被不太为人所知的勒文海姆-斯克伦定理(一阶逻辑系统中存在不一至性)和后来30年代广为人知的哥德尔定理(推翻了算数公梨花体系的自洽和完备性)面前彻底毁灭,证明是不可能的乌托邦。

现代分析体系的基础仍然是接受“实无穷”和排中律的形式主义(策莫罗公理体系),等于是容忍接受了芝诺悖论(用测度空间的限制来规避),比如可以证明选择公理等价于排中律,而从中可以推导出分球“悖论”,一个有限等分的圆球可以重新组合(没有拓扑变化)成为两个与原球体同样尺寸的球体。注意,这里的“悖论”是带引号的,因为它并不是“罗素理发师悖论”那种意义上的矛盾悖论。

容忍接受含有芝诺悖论的实无穷体系是因为,数学家们(至少思考数学公理化基础的那些数学家们)认识到,数学只是人类的发明的工具,而并不是人们发现的大自然法则!!

实无穷也好,潜无穷也好,都是描述自然的理性思维模型而已。而理性思维本身,用康德哲学,必然避免不了二律背反的铁律。
贴主:塞翁寻马于2021_06_21 3:05:37编辑
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