大家平时有没有注意到一个奇特的现象：用茶叶泡茶的时候，如果搅动茶水，茶叶会聚集到茶杯底部中心，而不会按照因为离心力分散到茶杯壁附近。这是怎么回事？




 

这个有趣的现象叫做茶叶悖论（tea leaf paradox）。你可能想象不出茶叶悖论和弯弯曲曲的河流有什么关系。一百年前，爱因斯坦巧妙地解释了这个现象，并且把它和河流的九曲十八弯串联起来。



在绕圈圈搅动茶水的时候，我们通常会认为茶水会随着调羹一起旋转，并且因为离心力而贴到杯壁上。




二次流（蓝色） 图片来源：wikipedia



但实际上，由于液体和茶杯之间的摩擦，水杯中会出现二次流（secondary flow），也就是和旋转面垂直的一圈圈水流。茶叶被卷入这个二次流中，被扫到水杯底部中央。由于在二次流中，靠近茶杯底部的液体速度更小，那里的茶叶速度不够无法上升，最终被扫成了一团。




茶杯中二次流的流动方向 图片来源：（DOI）10.1007/BF01510300



那么，茶叶悖论和河流又有什么关系呢？




某条小河的河床被侵蚀 图片来源：wikipedia



是这样的，在爱因斯坦之前的19世纪中叶，地理学家中间流行着一种观点，那就是在北半球，河床的侵蚀主要发生在河流的右岸，南半球在左岸，而这是地球自转带来的科里奥利力引发的。因为地球自转，北半球的物体有向右拐的趋势，这就是科里奥利力。



这些地理学家认为，因为科里奥利力，北半球右侧的河岸的泥沙容易被带走，南半球则刚好反过来，这个一度很流行的理论被称为贝尔定律（Baer's law）。




地球是逆时针自转，如图中的圆盘。在科里奥利力的作用下，北半球的物体运动时会向右偏，如图中的白球。



不过，爱因斯坦在1926年发表的论文（Die Ursache der Mäanderbildung der Flußläufe und des sogenannten Baerschen Gesetzes）首次对河岸侵蚀现象给出了正确的解法，将贝尔定律打入冷宫并赐了一丈红。



爱因斯坦指出，河流左右侵蚀的不平衡是因为河水中也有和茶杯里类似的二次流。




河道AB的横截面中会产生顺时针的二次流，类似于茶杯横截面右边的情况。图片来源：（DOI）10.1007/BF01510300

 

假设河道中有上图中AB这样的一个弯弯，河水逆时针流，那么这个弯弯就好比是茶杯的右半边的情况，那里的二次流的方向是顺时针的，这就导致泥沙从右侧被带到左侧底部堆积。这样日积月累的结果就是，本来弯的河道就会变得更弯。



最终，上面那条河的河床底部就会变成这个样子——




图片来源：（DOI）10.1007/BF01510300



河水的方向反过来也是一样的，也是B边被侵蚀。这怎么理解呢？就像你用勺子在杯子里打圈时，不管顺时针打还是逆时针打，二次流的旋转方向不受影响，最终茶叶都聚集在中间。对于河流来说，二次流的方向也不会发生变化。



也就是说，在这种情况下是河流水流方向的左侧被侵蚀，显然爱因斯坦的解释和贝尔定律不符。



总而言之，爱因斯坦预测，不管河流方向为何，不管是在南半球还是北半球，河流的外弯侧总会被侵蚀，沉积物被逐渐堆积到内弯处，导致河流越来越弯，犹如长了脓包。

 

后来的研究发现，河流的变化果然是这样的。




秘鲁境内乌卡亚利河的演变，河道越来越弯。 图片来源：geogarific



最后曲流甚至会生出一个脱离主河道的牛轭湖。用图画出来就是——

 


曲流的生命周期，最终会形成牛轭湖（最下方的半圆）。 图片来源：wikipedia



而爱因斯坦所描述的这种二次流后来就被取名为螺旋流（helicoidal flow）。



爱因斯坦进一步解释，科里奥利力确实对侵蚀有一定的影响，但不是贝尔定律判断的那样。



刚才说的是河道有一点点弯曲的情况。但即使一条河本来是直的，也可能被掰弯，被掰弯的原因也是二次流。你可能觉得奇怪，直的河道里河水不拐弯，没有离心力啊，怎么还会有二次流呢？

 

原理是这样的：由于地球自转，直河的水流受到科里奥利力的微弱作用，会产生二次流。




这个让河流外拐的科里奥利力的水平分量是2vΩsinΦ。v是水流速度，Ω是地球转速，Φ是纬度。水流速度越大，纬度越高，所受科里奥利力越大。



在科里奥利力的作用下，向前运动的水流和河床底部会发生左右摩擦，和水面相比底部的水流减速，从而产生二次流和相应的侵蚀。换言之，只要地球在自转，直河就会不由自主地想要变弯。

 

在这篇简洁有力的论文中，爱因斯坦还对河流侵蚀做出了几个预测。



比如，因为这个二次流具有惯性，因此最强烈的侵蚀应该发生在河流拐弯处的下游。如此一来，一条河的弯弯会不断往下游移动，就像蛇扭来扭去一样。而一条河的横截面越大，河床摩擦阻力的作用也越慢，因此大河的弯弯直径也越大。这些都和事实相符。




曲流和牛轭湖 图片来源：eos.org



爱因斯坦之后，有不少学者对这个问题进行了定量描述。1950年，爱因斯坦的大儿子、加州大学伯克利分校的教授汉斯·爱因斯坦（Hans A. Einstein）在父亲的基础上提出了泥沙运动力学理论，父子二人为河流泥沙工程学做出了奠基性的贡献。



除了用来解释河流侵蚀，茶叶悖论在啤酒的酿造中也有重要应用。




酿啤酒时的杂质trub （左）图片来源：grainfather



在酿啤酒时，麦芽的蛋白质和脂肪等物质会凝结形成酒花糟（trub）等杂质。为了方便去除这些杂质，麦汁被注入一个叫做回旋沉淀槽的旋转大缸里，渣滓就会在底部中央聚集，很容易去除。这个技术就叫做旋液分离。



最早想到这招的是加拿大的酿酒企业 the Molson，现在大多数啤酒酿酒厂用的都是这个思路。




回旋沉淀槽利用茶叶悖论分离酒花糟 图片来源：hofbrauhaus





杯壁下流，拐弯抹角，没错，说的正是在下二次流。