最诡异数学悖论：1+1=1
超模君 少年数学家
分球悖论

史上最诡异的悖论



今天，8岁表妹的老师给她奖励了一块大巧克力，超模君打趣她能不能分给我点，遭到残忍拒绝，超模君很愤怒，暗下决心要神不知鬼不觉地吃上表妹的巧克力。






超模君趁表妹在认真做作业的时候，灵机一闪，拿起刀就是切，偷偷吃了好几块。






假装帮表妹切好了巧克力，把剩下的拼好，成功蒙混过关。



乍一看，巧克力好像没有变少，但是实际上巧克力是不断减少的。这让我想起了那个说一个球可以变为两个球，而且这两个球和原来的球一样大的分球悖论。



在我们的认知里，这是非常荒唐的事情。但是在数学上，分球怪论理论上是成立的，只是以人类目前的认知无法在物理世界去证实它。为了更改的理解分球悖论，先从超级韦氏字典讲起。





超级韦氏字典


超级韦氏字典是一本包含了所有英文单词的字典，你的名字，你的故事，你的everything都可在这本字典找到。



这本字典的开头是A，然后是AA，接着是AAA……在无限多个A之后，是AB，然后ABA，接着ABAA……一直到无限多个Z开头的序列。大概是这个样子：






我们都无法想象这本字典有多大，每个字母开头的序列都印一卷的话，一共要印26卷，那出版社要出版这么一本字典肯定得破产。不过，有人发现如果A卷去掉开头的A，剩下的就是B-Z的所有序列内容。






出版社只需印去掉开头的A的A卷就完成了字典，因为人们在使用的时候自觉加上A就行，这就大大减少了成本。下面我们就借助超级韦氏字典来理解分球悖论。





分球悖论



分球悖论：可以将一个三维实心球分成有限（不勒贝格可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。



“分球悖论”最重要的部分，就是如何分割三维的球体，而我们选取的方法，就是让三维球体，变成一部超级韦氏字典。



首先，给球面上的所有点，取一个独一无二的名字。取名的方法如下：

1.选择一个起点O，然后以适当的单位长度，让O一步步地移动；

2.移动的方向只有四个：上（U）、下（D）、左（L）、右（R）；

3.O每向一个方向移动一步，就记录一步，直到O不动为止，所列出来的序列就是O停下时所在点P的名字；

4.为了避免两个序列结束在同一个点上，移动不能原路返回。

比如，求点O向上移一步停下，则P1记为U，再向右一步停下，则P2记为RU。在这里大家会注意到，序列的书写顺序是右到左的，因为要配合后面的步骤。



因为不能原路返回，所以像UD、DU、LR、RL...这些数列不存在，因为这样相当于点O根本没动。






现在我们把所有可能的序列都列出来，球面上的点就变成一部超级韦氏字典了：






用序列代表点，还是太抽象了！要从视觉上着手，才能更形象直观。为了形象表达这序列，我们可以对它们做个分类：以最后一步的动作为准，最后一步是向上移动的（即序列以U结束）记为橙色，向下D点记为蓝色，向左L为紫色，向右R为红色。






按照上述方法，将这些序列标注在球面上，每个序列都会对应一个颜色的点：






这样的点有可数无限个，但是并不能占满整个球面，因为球面上有不可数无限个点。（不了解可数和不可数无限的模友可以看康托尔的集合论）那么该怎么用这些序列来表示整个球面上的点呢？



很简单，在没有涂色的点中，选一个新起点，然后将这些序列应用到新起点上，再给可数无限个点命名。重复这一过程，我们就可以将球面上所有点分成五类点：起点O、U点、D点、L点、R点。

按照之前的做法，我们分配颜色给这五类点：起点O为绿色、U点为橙色、D点为蓝色、L点为紫色、R点为红色。



这还没有结束，因为每个序列都有两个极点，在这类点里面被重复命名，需要把它们单独抽出来。用黄色给它们来标上颜色。

所谓的极点，就是某个点运动到这个点时，无论在序列中添加左右或者上下，都不会变成第二个点的点。对于以左右（LR）作结尾的序列而言，它们的极点是南北极点。



当点运动到南北极点时，无论是向左旋转还是向右旋转（因为球面上点的移动的本质就是旋转），都不会产生新的点，但是在序列中却会产生新的序列，所以必须单独拿出来命名。上下（UD）结尾的序列的极点则是东西极点。



现在球体上所有的点都被标上颜色了，可分为6部分：起点部分，U点部分，D点部分，L点部分 ，R点部分， 极点部分。因为每个点到球心的点列是独一无二的，只用点来代表就行。



当然，球心也需要单独拿出来，因为它是独一无二的。



拆分后的球体如下图：






现在将 L点部分拿出来看，L点部分对应的序列为所有以L结尾的序列，如果将L点部分向右旋转一下，序列会发生怎样的变化呢？



让人惊讶的是：L点部分所对应的序列变成了U点、D点、L点、起点部分所对应的序列。






还记得上面超级韦氏字典里的A卷，把A去掉就是剩下的B到Z的序列吗？现在正是利用这一点！如图，向右旋转L点部分，相当于在L点部分所对应的序列之后再加上一个R：






前面也说过，RL这样的序列是不允许出现的，现在这么做，所有序列的最后一个L都被抵消，就好像超级韦氏字典第一卷那样，剩下的部分就是构成代表U点、D点、L点部分的序列，而只有一个L的那些点，因为被R抵消，还原回所有起点。






只是旋转一下，就得到了球体的四个部分，那剩下的部分只需要用之前分离出来的R点部分和极点部分填上，以及把球心放进去，就是一个完整的球体了。



一个球体组好了，剩下U点部分、D点部分和起点部分。






这三部分如何组成新的球体？



我们把U点部分向下转动，与前面向右旋转L点部分相类似，U点部分所对应的序列就会变成U、L、R点部分对应的序列，还有起点的序列。


但是起点部分还没有用上呢？怎么办呢？



不要紧，把序列U所代表的点先行移到D点部分，然后再对整个U点部分进行旋转就行。



可是我们会发现，先清除再旋转后的U点部分，序列UU会变成序列U，与D点部分中先行到达的序列U相重复，所以我们必须先将所有的重复排列U的序列全部先行移除，然后再旋转剩余部分，最后再组合，才能够得到一个仅包含U、L、R点部分的序列集。






接下来把剩余的部分全部组合在一起。但是，你会发现这个球没有极点部分和球心。设想这个球可以绕某条轴旋转，某个圆经过球心和极轴上的任意一个点，圆的周长为2πr，利用无限的概念即可补上。



就这样，一个球就变成两个和它一样大的球了，这不是1=1+1吗？这就是诡异的分球悖论，在数学理论上是成立的，只是以人类目前的认知无法在物理世界去证实它。


看完分球悖论确实很烧脑，如果还没有理解，可以结合希伯尔特旅馆悖论来理解会轻松一些。





希尔伯特旅馆悖论



希尔伯特旅馆有无限可数个房间，但是住满了客人。






这时候来了一客人要住店，希尔伯特让1号房的搬去2号房，2号房搬去3号房...n号房搬去n+1号房，1号房就腾出来给客人住了。






现在旅馆来了无限个客人要住店，希尔伯特让1号房的搬去2号房，2号房搬去4号房......n号房搬去2n号房，把奇数的房间腾出来给这无限个客人住。






这就像一个希尔伯特旅馆变成两个和希尔伯特旅馆一样大的希尔伯特旅馆一和二，都有无线个房间，就像一个球分为两个和原来这个球一样大的两个球。虽然这样理解分球悖论不完全正确，但确实好理解一点。



现在如果有无数辆车，每辆车里面有无数个人来住店怎么安排呢？很简单，安排住在质数的房间即可，已住店的客人搬到2^n号房间，新来的第一辆车住进3^n房间，第二辆车里的人住进5^n房间......



正是这些科学家使人们对数从有限过渡到无限的认识更加深刻，脑洞大开乃至三观尽毁，正因为无限的发现才有后来的极限，微积分，高等数学等，社会才有今天的发展。



表妹还小，说不定过几年就知道我偷吃她的巧克力了！



作者简介：超模君，数学与交叉科学教育自媒体博主。爱分享有用的数学建模知识，爱深挖有趣的交叉科学人物故事，爱为靠谱的现代教育产品打call。著有《芥子须弥·大科学家的小故事》，由清华大学出版社2019年出版。

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转自：超级数学建模