丢勒



在达·芬奇之后，意大利的其他画家和建筑师也对数学有着浓郁的兴趣，包括与达·芬奇合称为“文艺复兴绘画三杰”的米开朗琪罗和拉斐尔。他们力图把数学应用于艺术，除了透视法，还利用高超而惊人的技巧掌握、发展了古希腊人创立的前缩法。在这些后辈艺术家中，将数学与艺术结合得最为出色的当数前文已提及的德国画家丢勒。



丢勒的故乡纽伦堡在德国的巴伐利亚，他的父亲是个成功的首饰匠，出生在匈牙利东南靠近罗马尼亚边境的久洛（Gyula）附近，28岁那年移居纽伦堡。他的姓氏Ajtos原本对应于德语里的Turer，而按照纽伦堡人的发音习惯，才改为Durer。起初，家人也是想把他培养成家族的继承人，但他在作坊里学会了绘画，并在13岁时照着镜子逼真地画出自己的肖像画。



丢勒请求父亲让自己学做画家，结果父亲答应了，他的一个兄弟继承了家业。父亲送丢勒进了当地一家画室，三年学徒期间，他学到了各种绘画技巧，尤其是木刻插图和铜板技巧，之前他的同胞谷登堡发明了活字印刷。出师以后，丢勒走出画室，漫游了四年，沿着莱茵河到达法兰克福、科隆和巴塞尔，并远至尼德兰（荷兰）。23岁那年，他与故乡的一位音乐家的女儿阿格列萨结了婚，那年他曾为新娘画过一幅素描。



丢勒第一件伟大的作品是《启示录》，这是由14幅版画组成的杰作。《启示录》是《圣经》里最后一篇充满恐怖奇想的经文，告诫信徒若不笃信基督，将会遭受惩罚。其中最有代表性的一幅是《四骑士》，骑士们或拉弓射箭或举剑挥砍，举起的空天平象征饥饿，而枯瘦的老人代表死亡，胯下的战马正无情地践踏倒下的人群。这是当时德国真实生活的反映，正是在这种历史气候下，16世纪初马丁·路德开始了宗教改革。



之后又有12年时间，丢勒携家侨居国外，期间两次在意大利长住。从意大利画家那里，他学到了透视法并进行了一番研究，画出了多幅木刻来说明如何利用截景绘画。除了上一节介绍的《为躺着的妇人画像》，还有《为坐着的男子画像》，以及《画罐》、《画琵琶》等。后来，他把意大利人的发明带回到德国，使之流行于欧洲的北方。 



为此，丢勒写作了一本广为流传的小册子《直尺圆规测量法》。这本书是关于几何学的，但也谈到了透视法。他认为，创作一幅画的透视基础不是信手涂画，而应该依据数学原理构图。在丢勒的影响下，18世纪初的英国数学家泰勒（以发明泰勒公式和泰勒级数闻名）、法国数学家兰伯特（证明圆周率是无理数）都撰写过透视学的权威著作。



1505年，丢勒再次来到意大利，这次他不仅为了学习取经，也为了他的作品被人抄袭讨个公道。74岁高龄的威尼斯画派领袖贝里尼（提香的老师）接见了他，询问比自己年轻40岁的德国才俊能否给一支他用过的画笔。在那个年代艺术家还带有手工特技和师徒传艺的风俗，画家自制的绘画工具和材料常常带有保密的性质，就像达芬奇用左手反写“反字”的笔记本一样。



原来，贝里尼（Giovanni Bellini， 1430—1516）见到丢勒画的人物须发特别纤细流畅，故而认为他一定有特殊的画笔。没想到丢勒拿出一大把很普通的画笔，让老画家随笔挑，并当场画出“一缕柔软纤细波浪式的女性秀发”。事实上，丢勒本人的自画像里也有卷曲优雅的头发。目睹此情此景，贝里尼大为赞叹，出高价购买丢勒的画作，这等于帮丢勒做了很大的宣传广告。

丢勒自画像（1510）



 丢勒可能是文艺复兴时期所有艺术家中数学造诣最深的人，在《圆规直尺测量法》一书中，他谈到了空间曲线及其在平面上的投影，还介绍了外摆线，即一个圆滚动时圆周上一点的轨迹。更有甚者，丢勒考虑到了曲线或人影在两个或三个相互垂直的平面上的正交投影，这个想法极其前卫，直到18世纪才由法国数学家蒙日发展出一门数学分支，叫画法几何，蒙日并以此在数学史上奠定地位。



丢勒作品《忧郁》（1514）



1514年5月17日，丢勒深爱的母亲病故，他陷入一种悲哀。当年晚些时候，丢勒创作了铜版画《忧郁》寄托哀思，画面前方有个左手扶额作沉思状的坐着的青年女子，背景里有球、多面体等几何图形和一束光芒，右边房屋的窗子实为一个四阶幻方，即各行、各列和两条对角线元素之和均为34，见下图



     16  3   2   13

     5   10  11  8

     9   6   7   12

     4   15  14  1



事实上，此幻方9个2阶小矩形中，有5个（四个角和中央）的元素之和也为34；还有4顶点和任意3阶矩形或任意斜矩形的顶点之和也为34。幻方的出现无疑加重了画面的抑郁气氛和神秘感，也帮助它成为一幅世界名画。更有意思的是，幻方的最后一行中间两个数恰好组成了画作的完成年份，即1514（还有研究者发现5和17在其中的隐秘关系）。由此可见，丢勒对如何构筑幻方已经游刃有余。



虽说在中国，13世纪的南宋数学家杨辉的幻方更早出现，印度克久拉霍（Khajrāho，10-11世纪月亮王朝的故都）耆那教寺庙墙上的幻方更为完美，但丢勒因为同时也是著名的画家，他的幻方也最为著名。丢勒以其观察的精微和构思的复杂，将他丰富的思维与其热烈的理想结合在一起，产生了一种独特的效果。晚年的丢勒致力于艺术理论和科学著作的写作，包括绘画技巧、人体比例和建筑工程，他并亲自为这些书制作插图。



丢勒在书中写到，“出自一切作品的东西，要数漂亮的人体最能使我们感到愉快，所以我就从人体比例写起。”他还曾经这样说过：“求知，以及通过求知去理解一切事物的本质，这是一种天赋……而真正的艺术，是包含在自然之中的，谁能发掘它，谁就掌握它。”