早在公元 1世纪或 2世纪，中国东汉时期的画家已开始采用斜透视（oblique perspective）。如图，北宋时期的水墨画，作者不详，场景是水磨坊，周围河道环绕。这其中，斜透视与景物和人物比例的缩小相结合，达到了很好的效果。有一种说法，中国的斜透视传自印度，后者又来源于古罗马，但是却没有确凿的证据。



宋代水彩画《磨坊》，利用了斜透视技法



据说在公元前5世纪的希腊绘画作品中，已经出现透视原理的应用。稍后，亚里士多德在《诗学》中，将透视描述为：在舞台上使用平板来提供深度的幻觉。同时代的希腊画家亚西比德（Alcobiades）也把这一技巧应用于绘画，这位画家可能是雅典将军、政治家亚西比德的后裔，后者是哲学家苏格拉底的生死之交，是典型的聪明而注重自我的雅典人，在伯罗奔尼撒战争期间，他反复于雅典、斯巴达和波斯之间而左右局势。无独有偶，欧几里得在他的光学理论中也引入了透视的数学原理。



酷爱数学的教皇热尔贝



教皇热尔贝与前辈同胞毕达哥拉斯一样，欧几里得在数学之外也有许多爱好，他喜欢天文学、力学和音乐，可谓是多才多艺。据说欧几里得写过一本音乐的书，可惜没有流传下来。不过，他的《光学》却幸运地传了下来，其中的光学理论包含了透视的数学原理。事实上，这本书是最早的希腊文本的透视学。与他的《原本》一样，这本书的开头也列举了公设，总共12个，比《原本》（公设和公理各五个）还多两个，由此他推出了61个命题。例如，公设 1说的是：



人看见物体，是光线从眼睛出发射到所看见的物体上去。



这是柏拉图以来的传统观点，后来却被巴士拉（今伊拉克）出生、有着“托勒密第二”雅号的阿拉伯人海桑（Alhazen, 965-1040）给否定掉了。海桑写过一本《光学书》，后来被牛顿誉为最具影响力的物理学著作之一。书中明确指出，“光来自于眼睛所见的物体”。海桑是一位通才（阿拉伯语里叫哈基姆），除了光学，他在数学、天文学、心理学、医学等领域都有建树。他在开罗艾资哈尔大学任教授时，首次提出科学方法，他也被认为是第一个阿拉伯科学家、“科学方法论之父”。



欧几里得证明的命题 6是：

处于平行位置，大小相同距离不同的物体，在眼中看到的大小并不与远近成比例。



这等于说，



《原本》是古典数学的结晶，讲述的范围也超出几何学的范畴，书中包含了许多基础数论的内容。例如，欧几里得算法（中国典籍称辗转相除法）、算术基本定理，素数有无穷多个的证明，完美数的定义和偶完美数的充分条件，甚至在证明中使用了“任何正整数集合必有最小者”的假设（良序性）。遗憾的是，书中并没有提到任何一个数的递归序列。



用递归序列表示的数列姗姗来迟，至少，在公元后的第一个千年里没有出现，这与罗马人的统治和欧洲漫长的中世纪有关。众所周知，公元前212年，在叙拉古（今意大利西西里岛）沙盘上研究几何问题的阿基米德被入侵的罗马士兵刺死，这是一件标志性的历史事件，预示着希腊数学和灿烂的文化走向衰败。从那以后，罗马人开始了野蛮的统治。



而自从5世纪罗马帝国瓦解以来，欧洲又进入了漫长的“中世纪”，这个称谓是后来意大利人文主义者命名的，目的是把自己所处的时代与之区别开来，并与古希腊和古罗马遥相呼应。诗人彼得拉克则称其为“黑暗时代”，这与流行了数个世纪的黑死病不无关系，那段时间整个欧洲的数学停滞不前，数学的主要成就是在中国、印度和阿拉伯等东方国家取得的。



大约在公元1000年前后，离开中世纪的结束依然十分遥远，欧洲的数学出现了某种转机，或者说是曙光。999年4月2日，一位酷爱数学的法国学者和教师热尔贝（Gerbert,约945-1003）当上了教皇，他也是第一位法国人教皇，自称西尔维斯特二世。据说，热尔贝之所以能够登上教皇的宝座，也与他擅长数学不无关系。



热尔贝出生在法国中部的奥弗涅大区，年轻时旅居西班牙三年，曾在巴塞罗那以北六十公里的一座修道院学习毕达哥拉斯学派倡导的“四艺”。伊比利亚半岛因为被阿拉伯人侵占并统治，具有较高的数学水平，虽说那会儿从阿拉伯语到拉丁语的后翻译时代还没有正式开始，大量的古希腊著作尚没有被译成拉丁语，热尔贝却已掌握了相当多的数学和天文知识技能。不难推测，他应该是精通阿拉伯语的。



969年，热尔贝陪同一位伯爵来到教廷所在地罗马，觐见了教皇约翰八世和神圣罗马帝国皇帝奥托一世，他因数学才能出色受到赏识。那时候教皇由皇帝任命，而教皇主持皇帝的加冕礼。热尔贝深得奥托一世的赏识，受聘为王子、未来的奥托二世的教师。后来有几任皇帝也很器重他，直到奥托三世任命热尔贝做了教皇（若不是奥托二世早逝，他可能会更早地成为教皇）。



据说，热尔贝从阿拉伯数学家花拉子密的著作中学会了印度-阿拉伯数码，并率先把它引入西班牙以外的欧洲。他还把东方人发明的算盘重新介绍到欧洲，用来帮助计算。此外，他还制造出钟，管风琴和某些天文仪器。在热尔贝撰写的一部几何学著作里，他还解决了这样一个数学问题：已知直角三角形的斜边和面积，求出它的两条直角边。



依照12世纪一位英国教士撰写的书里的描述，热尔贝在西班牙期间，曾去文化中心科尔多瓦和塞尔维亚学习数学，有一次他还偷走了一本书，被发现后把书藏在一座木桥下面躲过了搜查。1003年，在一次反对皇帝的平民叛乱期间，热尔贝死于罗马城，他的遗体下葬在今天梵蒂冈北面约四公里处的圣约翰·拉特兰教堂。