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【迎新】下标的故事:一边享受 一边泪流

送交者: 等边直角三角形[♂★★★★三儿★★★★♂] 于 2022-01-08 17:28 已读 17662 次  

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那天写模型时遇到了一件小事,略硬核,中文用词也不标准,还是争取能把事情讲明白。小众职业迎合主题不容易,大家多包涵。

我的研究领域中,大家一般习惯用下标 (subscript) i=1,...,n 来表示个体 (individual/subject/event)。比如,房屋会着火,可以用i, i=1,...,n来表示第i个着火的房子。每个房子算作一个individual,烧了一百个房子,样本总数(sample size)n,就是100。

好了,这个简单,那复杂一点呢?

很多时候,这些个体,可能来自于数个总体 (population)。说白了,比如这一组房子,可能来自城区1,那一组房子,可能来自城区2。每个城区都是个不同的总体。这就要用另一个下标来表示城区了。

怎么标呢?几个因素依次权衡下去。

首先,从本科时大家就习惯用的下标,主要是i和j两个,分别对应样本总数至n和m。如果有需要,往前可以到g和h,往后可以到k,l。最好别用h因为常常会拿来表示一种函数,也最好别用l因为长得太像数字1了。

然后,按照习惯,多个下标从左往右书写时,表示的东西,逐渐由总体至个体递进。字母选择,按字母表顺序来。

好了,那么,关于城区与房子的复杂表示方法,此时就出来了一半:先用i表示城区,再用j表示房子。比如t_ij=10min,就是第i个城区中,第j个房子着火了,消防员从接到报案到到达现场,花了十分钟。

还没完。i和j分别对应至1,...,几?这个就麻烦了。

按习惯,i是无论如何都要对应n的,但是,n又是无论如何都要表示房子总数的。这就拧巴了!我们的房子,由j表示了,写完整的话,应写作,j=1,...,n_i,也就是这第j个房子,可能是从1,一直到其城区i的房子总数中的任何一个。

j搞定了。那i又要对应到谁呢。这个就惆怅了。各路大神因为侧重点不同,至今没有个统一的表示方式。比如:


Fig 1. Banerjee and Carlin (2003)

这大叔专门研究城区这种与地理有关的统计模型,当年他的大作中,i为1,...,I。用大写,也是最省字母的办法。但很遗憾的是,大写I在数学中是个函数,叫indicator function,有特殊意义的,早晚得出事儿。同时,在图中你会发现,之前说的h用作函数了,指的就是这里。总之就避免与特殊函数撞车来说,这个还不甚理想。


Fig 2. Duchateau and Janssen (2007)

与此同时,这两哥们不研究地理模型,所以他们的i可以为1,...,s。而之前那个大叔的模型告诉我们,s在地理模型中,往往是代表空间的下标,不能用。所以一旦这两拨人碰见,又要撞到颤抖。


Fig 3. Lawson (2018)

十年,整合沧海的变迁,字母的意义在这位大兄弟的书里从ch6到ch11各种变,不变的,是i=1,...,m。然而,前文说了,i无论如何要对应n的,这是对只熟悉简单模型的人们最后的温柔。因此,虽说还不太理想,但至少,此时终于找回失散多年的m了。

如果那两下标没有颤抖
我不会发现我难受
怎么说出口
也不过是分手

如果对于科研没有要求
划划水就像旅游
成千上万个门口
总有一个人要先走

传统既然不能保留
何不在突破的时候
一边享受 一边泪流


Figure 4. 三儿 et al. (In preparation)

结合前人的成果,我打破了传统,做了点突破。曾经的i=1,...,n保留了,留给简单模型时用。当模型变复杂时,我用了字母g=1,...m来表示城区,j=1,...n_g来表示房子。这样,我既用上了好不容易找回来的小m,而且还给他配了个不拧巴的新人小g。当g和j牵手,同时使用时,gj=11,...,nn_m,完整地对应了曾经的i=1,...,n。

十年之前
我不认识你 你不属于我
我们还是一样
陪在一个陌生人左右
走过渐渐熟悉的街头

十年之后
我们是朋友 还可以问候
只是那种温柔
再也找不到拥抱的理由
情人最后难免沦为朋友

那一刻,我忽然想到了什么。回过神来,我已泪流满面。


参考文献

Banerjee, S., Wall, M. M., & Carlin, B. P. (2003). Frailty modeling for spatially correlated survival data, with application to infant mortality in Minnesota. Biostatistics, 4(1), 123-142.

Duchateau, L., & Janssen, P. (2007). The frailty model. Springer Science & Business Media.

Lawson, A. B. (2018). Bayesian disease mapping: hierarchical modeling in spatial epidemiology. Chapman and Hall/CRC.
贴主:等边直角三角形于2022_01_08 17:45:31编辑
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