||谎言者悖论

公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯说：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”那么，艾皮米尼地斯有没有说谎？

这个悖论最早的来源是《圣经》。《圣经》中曾经提到：“克利特人中的一个本地先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒’”。

这一悖论作这类变化是无穷的。例如，罗素曾经说，他相信哲学家乔治·摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说：“不是。”

罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。”罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。正如他自己所说：“1903年和1904年两年内，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”

||希帕索斯悖论

毕达哥拉斯证明了关于直角三角形斜边与两直角边关系的定理，即著名的“毕达哥拉斯定理”（即“勾股定理”）：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方之和。但是，毕达哥拉斯的学生希帕索斯却在研究正方形的对角线时发现，这条对角线（亦即等腰直角三角形的斜边）既不能用整数表示，也不能用整数之比（分数）表示。因为，如果能用整数或整数之比表示，则必然带来不可克服的矛盾。在古希腊时期，人们对数的概念的认识只限制在有理数的范围。也就是说，那时候的所谓数，只有整数以及可以表示成两个整数之比的分数。比如，边长为1的正方形的对角线的长度竟然不是一个“数”。这就是著名的“希帕索斯悖论”。

希帕索斯悖论的发现就如同一声晴天霹雳，动摇了毕达哥拉斯学派整个信念大厦的基础，这等于给“万物皆数”的哲学观点捅了一个窟窿，引起其他毕氏门徒的极大恐慌。他们决定立即封锁消息。可是如何能封锁得住？一传十，十传百早就传开了。这使得他们非常恼火，决定捉拿泄露天机的希帕索斯。希帕索斯并不屈服，于是逃离了这个学会。一些激进的门徒紧追不舍，结果在地中海的一条船上抓住了希帕索斯，并把他扔到了海里。

||人不能两次踏进同一条河流

这句名言出自古希腊哲学家赫拉克利特。这句名言的意思是说，河里的水是不断流动的，你这次踏进河，水流走了，你下次踏进河时，又流来的是新水。河水川流不息，所以你不能踏进同一条河流。赫拉克利特还认为，事物都是相互转化的。冷变热，热变冷，湿变干，干变湿。他还明确断言：“我们走下而又没有走下同一条河流。我们存在而又不存在。”

显然，这句名言是有其特定意义的，并不是指这条河与那条河之间的区别。赫拉克利特主张“万物皆动”，“万物皆流”，这使他成为当时具有朴素辩证法思想的“流动派”的卓越代表。恩格斯对赫拉克利特的这一思想给予了高度的评价。他说：“这个原始的、朴素的但实质上正确的世界观是古希腊哲学的世界观，而且是由赫拉克利特第一次明白地表述出来的：一切都存在，同对又不存在，因为一切都在流动，都在不断地变化，不断地产生和消失。”

||人一次也不能踏入同一条河流

克拉底鲁是哲学家赫拉克利特的学生，是古希腊最早的诡辩派代表人物。赫拉克利特提出：“人不能两次踏进同一条河流”。而克拉底鲁却把这种观点推向极端，认为人甚至“人连一次也不能踏入同一条河流。”他认为，一切都变化不居，瞬息即逝。因此，对任何事物都不能做出判断，都无法说出它是什么。曾经有人指着克罗底河问他：“这是克罗底河吗？”他却回答说：“不，我无法它是什么，因为当我说的时候它就变了。”

有人问克拉底鲁：“河流是如此，是否其他事物也这样呢？”

克拉底鲁不假思索地回答说：“从哲学的观点看，这是毫无疑问的。世界上的所有事物正是这样永不停息地变动着。”这时，有人指着克拉底鲁坐着的椅子问他：“你坐着的是什么？”

“是椅子。”“不对！”提问者反驳说，“按照你的理论，你的话还没说完，它已经变得不是椅子了。”

克拉底鲁无言以对。后来，他怕再出洋相，不管任何人问他什么问题，他都不作回答，而只是不断摇动大拇指。意思是说，你问的问题我不回答出来，因为就像指头的摇动一样，任何事物都在不断地变化，我们无法加以认识，我们更不能把它说出来，因为在说出时它已不存在了。后来，有人把克拉底鲁称为“只动手指头的哲学家。”

||“两分法”的悖论

“两分法”的悖论是芝诺否认事物运动的第一个悖论。他说，运动着的事物在达到目的地之前，先要完成全程的1/2；在达到1/2处之前，又要完成它的1/2。如此分割，乃至无穷，永远也达不到目的地。芝诺这个悖论暗示运动的路程是无限可分的。

后来，亚里士多德批评芝诺在“两分法”中所犯的错误：他（芝诺）主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触。须知长度和时间被说成是“无限的”有两种涵义，并且一般地说，一切连续事物被说成是“无限的”都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限。因此，一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触，另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的．因此，通过一个无限的事物是在无限的时间里而不是在有限的时间里进行的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的现在上进行的。

||“阿基里和乌龟赛跑”的悖论

“阿基里和乌龟赛跑”的悖论是芝诺否认事物运动的第二个悖论。“阿基里”是古希腊奥运会上的长跑冠军。但芝诺却得出了他永远追不上乌龟的结论。他说，设想阿基里和乌龟赛跑的时候，乌龟先爬一段路程；当阿基里跑完这段路程的时候，乌龟又向前爬了一段路程；当阿基里跑完这一段时，乌龟又再向前爬一段；一追一爬，以至无穷，阿基里永远也赶不上乌龟。这个悖论说明：运动中的事物没有快慢之分。

亚里士多德指出，芝诺的这个悖论和“两分法”的悖论在思路上是一致的，其实是一回事。区别仅在于：“这里加上的距离不是用二分法划分的。由这个论证得到的结论是：跑得慢的人不可能被赶上。而这个结论是根据和二分法同样的原理得到的——因为在这两个论证里得到的结论都是因为无论以二分法还是以非二分法取量时都达不到终结。在第二个论证里说最快的人也追不上最慢的人，这样说只是把问题说得更明白些罢了——因此，对这个论证的解决方法也必然是同一个方法。认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的。因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它也是可以被赶上的。”

||“飞矢不动”的悖论

“飞矢不动”的悖论是芝诺否认事物运动的第三个悖论。他指出，被射出去的飞箭在一段时间里通过一段路程，这一段时间可被分成无数时刻。在每一个时刻，飞箭都占据一个位置，因此是静止不动的。就是说，它停驻在这段路程的各个不同的位置上，而不是从一个位置飞至另外一个位置。

芝诺通过这个悖论旨在说明路程和时间的无限可分性所造成的速度是静止的。亚里士多德反驳说：“他的这个说法是错误的，因为时间不是由不可分的‘现在’组成的，正如别的任何量都不是由不可分的部分组合成的那样。”又说：“这个结论是因为把时间当作是由‘现在’组成的而引起的。如果不肯定这个前提，这个结论是不会出现的。”

||“运动场”悖论

“运动场”悖论是芝诺否认事物运动的第四个悖论。芝诺说：假设跑道上有两排物体，大小相同且数目相同，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点。它们以相同的速度沿相反方向作运动。如下所示：

A A A AA A A A

B B B B—→B B B B—→

←— C C C C ←—C C C C

AAAA为一排静止物体，而BBBB和CCCC分别代表以相同速度作相反方向运动的物体。于是当第一个B到达最末一个C的同时，第一个C也达到了最末一个B。这时第一个C已经经过了所有的B，而第一个B只经过了所有的A中的一半。因为经过每个物体的时间是相等的，所以一半时间和整个时间相等