直至此时，在科学这一崭新领域中，数学还几乎没发挥过什么作用。古希腊数学沿着独立有时又不免有些曲折的道路发展，这条路始终没有与自然研究有过重要的交叉。
信仰上帝的数学家泰勒斯建立了第一个抽象的、关于宇宙的数学法则，并因此广受赞誉。希腊人并不是唯一懂得几何的古代人——印度河河谷的数学家们早在他们之前就掌握几何知识了——但据记载，我们认为泰勒斯之前的思想家都没能超越具体的几何观测（“任何一条直径都将圆分割成两等份”），而进一步证明这些观点是永远正确的，比如说，上述法则适用于所有圆，而且在宇宙的任何地方都适用。
泰勒斯之后，几何——这一研究角和线，以及它们构成的图形及其面积的学科——就发展成了希腊数学的根基和主干。算术（数学的一个研究数字的分支）就是从几何学中衍生出来的。数字是用于衡量面积、长度等几何学属性的最重要的工具。然而，衡量结果往往不会单纯用数字来表示，而是用比率。
换句话说，测量一个长方形时，我们通常会这样做：

把长标记为3英寸，宽标记为1.5英寸。但是古希腊的数学家们则会用两边长度之比来表示：
2 : 1
因为长与宽之比恰好等于数字2与数字1之比。
希腊人可以用比率进行加、乘以及大家在算术课上学到的所有运算。因此，数学会探讨到“有理数”。有理数表示的是任何两个整数之间的比率关系。
在泰勒斯之后到柏拉图之前的这段时间里，在数学方面最为活跃的是毕达哥拉斯学派，构成这一学派的人都是毕达哥拉斯（Pythagoras）的追随者；毕达哥拉斯是公元前6世纪的希腊神秘主义者，人们对他的身世一无所知。有关他生前的一些细节全部是通过后世的追随者们才得以流传下来，其中包括扬布里柯（Iamblichus）。扬布里柯生活在毕达哥拉斯之后的800多年，他耗费毕生心血撰写了一部长达10卷的百科全书式的毕达哥拉斯教义。扬布里柯说，毕达哥拉斯的父母都是宙斯的后裔，有谣言说，毕达哥拉斯是阿波罗之子，当毕达哥拉斯的父亲外出时，阿波罗造访了他的母亲。（关于这一点，扬布里柯表示“无法”证实，但是“没人会否认毕达哥拉斯的灵魂是从阿波罗的领地中被送给人类的”。）
毕达哥拉斯被尊为神灵的喉舌，他的数学法则主要作用并非是充当理解自然世界的工具，而是理解真理本身的一种方法。毕达哥拉斯教导说，数学是通向知识的唯一途径：不借助数字就不可能对事物有真正的理解。数字拥有神谕的力量——尤其是1、2、3和4，它们组合起来可以创造出现存的所有维度。这四个数字之和“10”则是一个神圣的数字，被称为“圣十”（tetractys）。
毕达哥拉斯学派崇尚素食，滴酒不沾。他们相信灵魂转世；他们进行一项神秘的黑暗仪式；他们的教义称音符间隔揭示了宇宙深奥的真理（很久之后，这一理论被发展成为中世纪的天体和谐说）。但其奥秘教义与真实的、严谨的数学相交织。大多数七年级学生接触到的第一个几何学定理——毕达哥拉斯定理——早就为古代数学家所知（古埃及人肯定也知道），但却是毕达哥拉斯学派首次将这一定理定义为一条普遍定律，一条适用于所有直角三角形的真理。
这一定理似乎使得毕达哥拉斯学派意识到无理数的存在，显然，这还是有史以来第一次。
后来许多人在书中都把这一发现归功于公元前400年之前的毕达哥拉斯学派哲学家希帕索斯（Hippasus）。希帕索斯在研究三角形时发现，c和a之比是无法用一个个位数来表示的。这两边是不能通约的，因为它们没有公约数。换句话说，我们是不可能通过毕达哥拉斯学派的那种方法用数字来表示它们之间的关系的；比如说，我们不可能说a比c等于1/3或1/4。从几何学中发现了不可通约数，并在随后不久带来了算术方面的相应发现：无理数——无法以整数之比来表示的数。

图4.1 毕达哥拉斯定理：a2 + b2 = c2
显然，这是对毕达哥拉斯神秘主义的巨大打击。因为该主义的基石便是：所有的自然关系都可以用比率来表示。希帕索斯的发现引起了恐慌，宇宙的怒火因此不幸降临到了他头上。“尽人皆知，”一位后世评论家说，“将无理数理论首次公之于众的人死于海难，这样，（宇宙）不可言表、难以理解的一面就将永远不会被揭开。”
如此强烈地规避现实世界应用的数学传统在科学领域也许不会发挥什么作用；毕达哥拉斯数学出现后的头几个世纪，不仅将外行人拒之门外，还与缓慢发展的科学新领域相分离。它是宗教而非科学，它几乎是完全为了思考上帝，而不是为了研究尘世的事情而设计出来的。
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尽管亚里士多德学派和柏拉图学派的科学著作中都几乎没有提到过数学，但是造成这一现象的出发点则完全不同。
亚里士多德只想知道事物本质是什么，对它们的尺寸并不感兴趣。在亚里士多德看来，重量、高度、圆周长、直径：这一切都是变化的，它们无法体现自然界事物的本质。数学无法帮助他洞察一株植物的植物性（plantness），或者是水的水性（waterness）。他的自然分类法就像他的物理学一样，利用的是事物的属性，而非数量；比如说，血液的状态而非心脏的尺寸，掘洞生物的习性而非洞穴的尺寸。他认为，数学（与这些属性）是毫不相干的。
但是对柏拉图而言，数学是极其重要的——前提是它不因与物质世界接触而腐化。
《理想国》（Republic）第七卷中的“洞穴之喻”（Allegory of the Cave）非常有名，其中，柏拉图对他的观点进行了最明确的解释。他坚称，存在于造物主心中的那个理想的、未被腐化的完美宇宙与我们居住着的这个可见的、劣质的复制品是不同的。不懂哲学的人只能看见这个复制品。他就像一个被锁链束缚在洞穴里的囚徒，只能看到面前洞壁上外界真实事物的影子，而看不到真实的世界。囚徒一旦被释放，并被带到洞穴之外阳光下的世界，外面的光线会刺痛他的眼睛，令他目眩而看不清任何东西。他情愿回到洞穴的樊笼中，宁可去盯着影子，也不愿看到现实。
所以，不懂哲学的人一定要被慢慢地带出“洞穴”，带到他出生的世界，让哲学知识的阳光包裹他。他要接受教育，去理解理想的宇宙；这样，他就会不再满足于那个复制品了。算术和几何学就是达成这一转变的工具。由于算术始于区分一些概念：单数与复数，一与多，一与无限，因此算术就拥有“一种将思维汇聚并转化为对真实存在进行冥思的力量”。同样，几何学也将灵魂引向真理，并创造出了之前从未有过的“哲学精神”。
但是只有当它们被用于处理抽象概念的时候，算术和几何学才有这种力量。柏拉图告诫说，算术的研究一定要“遵循哲学家的精神，而不是遵循商店老板的精神……算术拥有非常巨大、发人深省的影响，它会驱使灵魂去理解抽象的数字，并拒绝将任何可见的或有形的物体引入讨论”。几何学的应用也一定不能像大多数几何学家那样（“他们心中只有应用，且总是狭隘又滑稽地对求面积、扩展运算或应用等滔滔不绝——他们混淆了几何学的需要和生活的需要。”），几何学应当被作为一种理解理想世界形式的方法。“通过几何学所要获得的知识，”柏拉图解释道，“是关于永恒的知识，而不是关于任何正在消亡或转瞬即逝的事物的知识。”
事实上，柏拉图哲学观认为，只要不掺入任何感觉，理性就可以产生真理；因此，他对任何因观察得出的算术结论都感到怀疑。这就让他小心谨慎，比如说，对天文学。天文学家观测天体过去的运动，进行分析，并通过数学计算出它们未来的位置。但是这样的计算将观察——人的感觉——融入数学计算中，因此也就把计算从理想的世界带到了影子的世界。因此，柏拉图在肯定天文学计算的价值的同时，也警告天文学家们不要自认为自己的理论真的揭示了宇宙。天文学家的结论可能只是接近真理，但绝对算不上真理。
数学界驱逐现实世界的言论仍旧在我们心中回响；尽管应用型数学不再被鄙夷为“开商店（之法）”，但是理论学家仍然对自己的领域“纯数学”这一命题自命不凡。
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不顾柏拉图的鄙夷，数学家们不断努力寻找数学和自然科学的交叉点。
其实，柏拉图对“开商店式的”数学家们的尖刻指责可能是针对一个同代人的，这个人就是毕达哥拉斯学派的数学家阿契塔（Archytas）——他竟敢将数学应用于解决真实世界的真实问题，这使他脱离了神秘主义的行列。3世纪的传记作家第欧根尼·拉尔修（Diogenes Laertius）称阿契塔是“将数学原理系统地应用于机械学的第一人”。传说阿契塔发明了一只可以飞的木鸽子。在《政治学》（Politics）中亚里士多德不假思索地说，由于小孩子们总是安静不下来，应该给他们一个阿契塔设计的玩具拨浪鼓，这样就可以让他们忙着玩拨浪鼓而“停止破坏家里的东西”。但是，阿契塔的手稿只留下了只言片语，且这些对我们了解他的科学追求毫无帮助。
直到3世纪中期，才有一篇科学文章在调查过程中用到了数学的方法——这篇文章存留至今。这篇文章题为“数沙者”（“The Sand-Reckoner”），作者是阿基米德（Archimedes），他是西西里的锡拉库扎城（Syracuse）的居民。
阿基米德拥有阿契塔所不具备的优势：一部欧几里得（约公元前325—前265年）写的手册《几何原本》（Elements）；这部手册共有13卷，汇集了几个世纪以来在毕达哥拉斯学派中传播的几何学知识，完全脱离了神秘主义和宗教思想。《几何原本》开篇是一系列的定义（“一个点就是指一个不含其他部分的……钝角是大于直角的角……”），然后就是欧几里得所说的“公设”和“公理”——二者都显而易见，因而也就不证自明了。其中，公设主要应用于几何学（“所有的直角都是相等的”），而公理则应用于几何学以及其他学科（“总体要比部分大”）。
但是，欧几里得这部书的重点在于几何学证明部分——他给出了一系列问题以及解法，证明了几何学定律适用于任何场合、任何时间、任何人。再也没有比欧几里得的证明更明晰易懂的了。明白他的初始假设，并借助一把尺子和一副圆规，任何人（而不仅仅是具备了基本知识的内行）都可以理解他的体系。
大约700多年后，5世纪的希腊哲学家普洛克拉斯（Proclus）针对欧几里得的《几何原本》写了一篇全面的评论，其中提到了一个关于欧几里得和埃及国王托勒密一世（Ptolemy I）的家喻户晓的故事。托勒密是亚历山大大帝的前将军，绝对算不上是一位学者。但是他懂得学习的价值，并试图学习《几何原本》，却发现这本书的内容过多，超过了他的接受能力。因此他问欧几里得是否有更简单的方式能让他理解这些原理。“先生，”欧几里得回答道，“学习几何学没有坦途。”
这个故事也许是虚构的，但揭示了几何学的一个新真理，即（通往几何学的道路）没有捷径，没有神灵启示，无须祭祀仪式，也没有特权。《几何原本》将几何学从毕达哥拉斯学派中拯救出来，将其应用于现实世界。
随即，阿基米德就开始利用这一新工具思考宇宙了。
阿基米德最为人所铭记的是他做出的一个发现；毕竟，要不是他，可能就不会有这个发现了。据阿基米德时代200多年之后的罗马传记作家维特鲁威（Vitruvius）记载，国王给了阿基米德一个任务，让他查清楚不诚实的金匠是否偷了一些铸造皇冠的黄金，并用廉价的银子顶替。皇冠看起来是用金子做的，重量也没有问题。但是它是纯金的吗？
“他心里想着这件案子，刚好他要洗澡了，”维特鲁威写道，“他进了澡盆，发现他的身体浸入水中越深，就有越多的水从澡盆里流出来。这为他破解手头这件案子指明了道路，他跳出澡盆，一路裸奔到家，大声叫喊着他找到了要找的东西；他一边跑，一边反复用希腊语喊着‘Eureka，eureka’［我找到（它）了］。”他刚刚意识到，因为银比金要轻，因此，一顶由纯金做成的皇冠要比一顶相同重量的掺银的金皇冠要小一点。所以，如果将掺假的（因此也就更大的）皇冠浸入一罐液体中，溢出的液体一定会比纯金的、略小一点的皇冠所排出的液体要多。计算未掺假的皇冠应该溢出多少水，并与实际皇冠的溢水量对比，这样阿基米德就能够测量出皇冠中的含银量了。Manifestum furtum redemptoris（人赃俱获）：失窃的金子被追回了。
维特鲁威的记述并不可信，这一点是出了名的，不止一位实验者指出，通过测量溢水量之间如此细微的差距来准确预测出皇冠的成分几乎是不可能的。但毫无疑问的是，阿基米德掌握了故事背后的科学。在《论浮体》（On Floating Bodies）一书中，他阐明了浮力定律（“阿基米德定律”），简单地说就是：“部分或完全浸入液体中的物体受到向上的浮力，浮力的大小等于物体所排开的液体的重量。”
阿基米德写了几篇文章来扩展欧几里得几何学。此外，他还因一系列发明而为人称赞，其中包括阿基米德螺旋泵（一种将水从低处提升到高处的水泵）、船舶振动筛（一种机械爪，可将发动袭击的船只从水中托举起来）、天象仪，此外还有各种各样的杠杆。以上发明大多都无从证明是阿基米德的；阿基米德可能只是改进了它们，因为从他自己写的书中看不出是他发明了这些东西。
从书中我们看到的是一位懂得如何将自己的知识应用于解决科学问题的数学家。在他的文章《数沙者》中，阿基米德最终将几何学用于对自然世界的研究。
《数沙者》的引言相当直截了当：要用多少粒沙子才能填满整个宇宙？尽管这看上去不过是一个思维实验，但别忘了希腊人习惯于用比率来计算。阿基米德的问题不仅仅是“宇宙有多大”，而是，“用我们已有的数学工具来测量宇宙是否可行”，比率就是他说的这个工具；他求索的，是要发现两个尺寸相差巨大的自然物体之间是否存在一个有意义的关系：一粒沙和整个物质世界。
为了达到文中所说的目的，阿基米德决定采用一种尚有争议的宇宙模型——这一模型认为太阳位于宇宙的中心。在古代，人们普遍认为，宇宙由相互交织的天体组成，各天体相当紧凑，而地球就在各个天体的中心。但是阿基米德认为这个小小的宇宙不会给他带来多大的挑战。
他要计算出另一套数据，它们适用于另一个宇宙模型，这个宇宙模型是由他的同代人萨摩斯岛的阿里斯塔克（Aristarchus of Samos）提出的。“你知道，”《数沙者》开篇写道，“‘宇宙’是大多数天文学家给以地球为中心的天体起的名字……但是萨摩斯岛的阿里斯塔克写了一本书，书中包括（这个）假设……即恒星和太阳是固定不动的，地球围着太阳做圆周运动，太阳位于轨道的中心。”
据阿里斯塔克所说，恒星与宇宙中心的距离相当于1亿个地球直径那么远——这比地心模型中的距离要远太多太多。为了让宇宙更大，阿基米德规定“地球直径”（未知量）应该是100万个视距的距离。
100万个视距距离就接近于10万英里，这就太大了；地球的直径实际上只有约7900英里，且不同位置测量的直径也有差别。尽管如此，阿基米德关于宇宙尺寸的计算却得到了一个小得滑稽的结果。他推算宇宙的直径约为10万亿英里，我们现在知道10万亿英里还不到2光年；1光年大约是6万亿英里，而仅仅银河星系的直径就大约有12万光年。
但是，实际的尺寸也无关紧要了。重要的是一个更大的问题：“用数学的语言来描述一个比我们过去所测量过的任何物体都大的实体是否可能？”
对于这个问题，阿基米德可以给出一个响亮的答复：“可以。”
尽管要表达出来真的有点儿复杂。希腊数字无法数出这么多沙粒。希腊书写体系中最大的数字就是“万”（myriad），即10 000，希腊语写作“M”。“万”也可以与其他数字相组合，比如说，既然ε（epsilon，希腊语的第五个字母）代表5，Με组合在一起就代表了5×10 000，即50 000。
用这一体系可以表示的最大数字就是“万万”了，或者说是万乘以它自身：1亿（100 000 000）。阿基米德需要更多的数字。因此当他最多到了100 000 000时，他又设计出将“万万”作为一个位运算，写作βΜ （β，即beta，代表2）。这就意味着他现在可以写出“亿”的倍数；比如说5亿（500 000 000）就是βΜε。
这可真算不上是世界上最简练的数字系统（举个例子来说吧，785 609 574 104必须写作），但是这一系统可以让阿基米德计算出要用1051颗沙粒才能填满阿里斯塔克的日心宇宙。这是科学家首次迫使数学服务于科学的目的，而不是科学服务于数学。阿基米德没有试图去将宇宙塑造成完美的、抽象的或者按照数学知识理想化的模型，他重塑了数学语言，使其与宇宙现实相吻合。
此外，他还传达了另一条非常清晰的信息。几个世纪以来，沙子代表了不可数的事物；“多如沙粒”、“多如繁星”，这样的语言等于是说：“这些都超过了我们的计数能力。”选择沙子来度量这个被恒星填满的天空，阿基米德借此做出了一个新的断言：宇宙中没有人类不可数或不可理解的事物。