01
弦论的时间空间

 

如果不算时间，最早的玻色弦论（Bosonic string theory）的空间是25维、超弦论（Superstring Theory）是9维、M理论（M theory）是10维。这些数字其实是有来由的。为何刚好选中了25、9、10这几个数值呢？那是因为，只有当空间是这些维数时，我们才能得到自洽的理论，否则便会出现一些奇怪的“反常”结果。诸如概率大于1、负概率、光子质量不为零等等。

 

一个物理理论，决定了空间的维度数目，这的确是前所未有的。弦论之前的理论物理，无论是经典、量子或相对论，对空间的维度都没有任何限制。这些理论固然毫无疑问地默认“三维空间”，但就理论本身而言，搬到多少维的空间中也是照样成立的。

 

说奇怪也不奇怪，基础物理学的目的是为了解释世界，回答一个又一个的“为什么”。这种解释是一层一层逐步展开的：经典物理解释的是人人都可见的宏观现象；量子物理解释一般人不了解，但实验室能观测到的微观世界；狭义相对论解释高速运动；广义相对论则解释大尺度的宇观世界。

 

到了弦论这一层次，除了统一引力和量子的目的之外，物理学家们也希望理论能解释一些更为基本的事实。例如：质量的来源，电荷的来源等等。其中也包括“时间是什么？”“空间是什么？”这些古老的疑问，以及“空间为什么是三维的？”“时间为什么是一维的？”，这种前辈物理学家们可能想都没想过的问题。



02
限制维度以使光子质量为零

 

根据弦论模型，弦的不同振动产生不同的粒子。例如：以A方式振动产生夸克，以B方式振动产生中微子……弦的振动产生了现有理论中的“基本粒子”，基本粒子又构成了世界万物。



图1：弦不同振动构成万物

 

特别要指出的是，弦论认为：引力子由闭弦的运动产生，光子则由开弦的振动产生。这两种粒子的静止质量都为零，而弦论中空间的维度数目，便可以由“光子静止质量为零”这一点导出。

 

也就是说，光子质量为0，在弦论之前的物理中是一个既定事实，而在弦论中是理论推导的结论。

 

光子的静止质量，即最小质量，由光子可能有的振动模式决定：

 

光子静止质量 = 光子弦基态能 + 光子弦振动能。



图2：谐振子的基态能和振动能 
基态能是最低的能量态，是一种“量子涨落”，与“振动能”不是一码事。

 

图2给出的是谐振子的基态能和振动能示意图。如果从经典物理的观点，基态能量应该为0，Ec=0，谐振子静止在碗中心的最低处，见图2a。然而，如果考虑量子规律，遵循不确定性原理，每个基态的能量都不可能为0，对所有可能的振动模式求和后便是基于“量子涨落”的基态能，谐振子不可能完全静止，见图2b：Eq=S(hw/2)。而振动能表征的是某种激发态（En= hwn），如图2c。



图3：D维空间中光子弦的振动
现在我们考虑对应于光子开弦的能量。与图2所示谐振子情况类似，只是光子是D维空间的一条开弦，它的振动情况显示在图3a中。

 

首先考虑最早的玻色弦论。图3a中，假设在D维空间中的光子其传播方向如红色箭头所示。因为光子的振动是横波，所以在传播方向上没有振动。因此，可能的振动发生在除了传播方向之外的其它（D-1）维空间中。对每一维空间，振动可以取无穷多种（1+2+3+……）模式，如图3b所示。可能的总模式数目：

 

M=(D-1)×(1+2+3+…)=(D-1)×S自然数

 

总模式数决定了光子基态的能量，再加上激发态的振动能（根据弦论的光子模型，这个数值是2）。因此，光子最小质量：

 

m0=(D-1)×S自然数+2

 

这里出现了一个奇怪的问题：为了使得光子最小质量m0=0，可能的模式数目M要等于-2。这看起来是不可能的，因为S自然数（简写为S）是所有的自然数之和，应该是个无穷大的数值。

 

因此，我们这儿插一段数学：研究一下S=1+2+3+…，即所有自然数之和。

 

其实，我们在中学时就知道了，这个级数不收敛，趋于无穷，有啥可研究的呢？不过，对于这个问题，数学家们绞尽了脑汁。而我们只需要理解一下结果就好了，何乐而不为呢？先讲一个故事。



03
拉马努金的故事
 

拉马努金（Ramanujan，1887-1920）是一位印度数学家。听听数学家们对他的评价：出身普通，自学成才，未经训练，知识不多，依赖直觉，成果空前。

 

拉马努金只迷恋数学，在其他科目的考试中经常不及格。也没有正规的数学老师，直到被英国著名数学家戈弗雷·哈代（Godfrey Hardy，1877-1947）发掘。用哈代的话来说，拉马努金“对现代欧洲数学家的成果完全无知”“就是个接受了一半教育的印度人。”

 

1913年的拉马努金，穷困潦倒、疾病缠身，却做了很多数学研究。他致信剑桥大学的哈代，提及了一大堆他所发现的数学公式。哈代带着困惑检验了这个印度小职员的研究成果，发现了好几个令他吃惊的玩意儿。他向拉马努金发出了一封到剑桥大学的邀请函。于是，拉马努金离开妻子到剑桥待了近6年。之后因病返回印度，但不久便去世了，只活了32岁。



拉马努金惯以直觉导出公式，不爱作证明。据说他短短的生命中给出了3000多个公式，平均每年100个。他的理论往往被证明是对的。其所猜测的公式还启发了几位菲尔兹奖获得者的工作。

 

在拉马努金致哈代的信中，就包括了自然数求和的问题。看看他的惊人答案：从1到无穷大的自然数之和，等于（-1/12）。

 

下面是拉马努金有关这个级数的笔记：



图4：拉马努金手稿



拉马努金对自然数无穷级数的求和给出了两种方法，一种极为不严格，一种极为严格。上面笔记中草草写下了不严格的理解方式。

 

哈代读信后的反应是“此人不是疯子便是天才！”。但哈代对这个自然数求和的结论并不感觉惊讶和奇怪，因为早在18世纪的瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）对此种发散级数就有所研究，后来的黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）也已经用他的ζ函数，对这个自然数求和得到了同样的、更为严格的结果。



04
计算自然数之和
 

拉马努金对（-1/12），有一个不严谨也不靠谱的“证明”方法，就是他写到上面笔记中的方法。如今网上流传的与其大同小异。


01最简单的“理解”方法

 

将所有自然数之和记作S 。

 

S=1+2+3+4+5+6+……

-4S=-4-8-12-16-20-24……

 

上面两个等式相加：

-3S=1-2+3-4+5-6+……

 

然后，拉马努金利用函数1/(1+x)2的泰勒级数展开来计算上面的级数



1/(1+x)2=1-2x+3x2–4x3+5x4–6x5+……

 

最后，设定x=1，便得到：



-3S=1/(1+1)2=1/4

 

由此得到S=-1/12

 

拉马努金上面的“证明”是不可取的，因为那种“错位加减”不能用于发散级数，不同的错位加减，会导致不同的结果。但拉马努金很聪明，给出简单理解的同时也给出了严格的证明，那是与不同的求和定义有关。



02“和”的不同定义

 

什么意思呢？求和不就是相加吗？

 

是的。但我们通常理解为正确的传统求和定义，被称为柯西（Cauchy）的“求和”。这个定义严格而又符合常理，只是不能处理发散的无穷级数。数学家们就想：是否可以靠改变求和的定义来给无穷级数一个有意义的数值？为此数学家们定义了塞萨罗（Cesaro）求和、阿贝尔（Abel）求和、拉马努金求和等。其中最简单的Cesaro求和，是用取“和的平均值”的方法。例如下面级数：

 

1–1+1–1+1–1+1+……

 

这个级数是不收敛的，因为结果不趋于一个固定数，而是以相等的概率于0、1两个数之间摇摆。根据Cesaro求和，可以把结果定义为1/2，尽管不是通常意义下的（柯西和），但却也容易直观理解，因为1/2是1和0的平均值。

 

如果和的平均值也仍然不收敛的话，有些人就用“和的平均值”的平均值来定义，还可以进一步以此类推下去；或者用别的方法来定义“和”。据说拉马努金就提出了一个求和方法，非常复杂难懂。我们就跳过去不介绍了。

 

03解析延拓方法


 

还有另外一种方法处理发散的无穷级数：解析延拓。意思就是说将函数的定义域连续光滑地扩大到原来不能应用的数域。

 

如何用解析延拓来解决自然数求和问题？还得从欧拉的研究说起。

 

远在拉马努金写信给哈代的一百多年之前，欧拉就研究了自然数求和的问题，并且也用不怎么靠谱的“错位加减”方法，得出了（-1/12）的结论。他在证明过程中，用了一个级数展开式：



 

欧拉给出的这个ζ函数只定义在当s为正实数的情况。后来，黎曼研究该级数时，他首先把定义域扩展到了实部大于1的复数。然后黎曼证明了一个函数方程：





其中的Γ(n)是Γ函数：Γ(n)=(n-1)!。

 

用这个方程，黎曼将其ζ函数解析延拓到了实部小于1的情况。例如，如果在方程中令s=-1，于是，等式右边变成：Γ(1-s)=Γ(2)=1，ζ(1-s)=ζ(2)= p2/6，……

 

最后便能得到：ζ(-1)=-1/12。



04洛朗级数展开


上面的方法，包括重新定义“求和”及解析延拓，实际上计算出来的结果，都可以说已经不是原来意义上的“自然数之和”了。不得不承认，这个（-1/12）的确与自然数之和有关系。但是，较劲的人仍然心存疑惑：原来的无穷大躲到哪里去了呢？

 

因此，我们介绍另一种洛朗级数展开的方法。

 

泰勒展开将函数展开为幂级数（幂次包含0和正整数）。有时无法把函数表示为泰勒级数时，也许可以展开成洛朗级数（Laurent series）。洛朗级数是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的正项，也包含了负数次数的项，如下所示：





例如，对自然数求和公式：






我们考虑复变函数：





在e的零点附近的洛朗展开：





所以，-1/12的结果不是莫名其妙来的，是e的零点附近的洛朗展开中的零阶项。可以如此理解：所有自然数的和是无穷大，但趋向这个无穷大时有其渐进性质（1/e2），除掉e趋于零时的发散项和高阶项，只留下与e无关的，便得到（-1/12）了。这个结果也符合物理中重整化的思想。



05
回到维度计算
 

回到利用光子最小质量为0来计算维度的问题。

 

玻色弦论中，光子最小质量m0=(D-1)×S自然数+2，将S自然数=-1/12代入，并令m0=0，可以解出D=25。因此，玻色弦论需要25维的空间才能自洽。

 

如果是超弦论，除了正常的普通空间之外，还有超空间（Hyperspace）以及其上的格拉斯曼数（Grassmann numbers）空间（对此不作更多解释，因为已经大大超出了科普的范围）。

 

因为三类空间（普通空间、超空间、格拉斯曼数空间）的存在，光子对应的超弦振动基态能量，变成原来的三倍，从光子最小质量m0=3×(D-1)×S自然数+2=-3×(D-1)/12+2=0，得到D=9。


后来的m理论，又因为统一5个超弦理论及超引力理论的原因而将空间维数增加到了10维。



所以你看，各种弦论的空间维度，也不是凭空想象的，还是有理论依据！